DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

L(γ) < ϱ < inj(p). Falls nun c([α, β]) im Bild exp p B p (0, ϱ) enthalten ist, dann
folgen die Behauptungen aus dem vorhergehenden Satz, angewandt auf die Kurve
˜c := ( (exp p )| Bp(0,ϱ)) −1
◦ c.
Falls nicht, dann existiert ein Wert s ∈ (α, β) mit c(s) ∈ exp p ∂B p (0, ϱ). Dabei
bezeichnet ∂B p (0, ϱ) den Rand des Balles B p (0, ϱ), also eine kompakte Menge. Sei
s 0 die kleinste solche Zahl s. Aus Satz 1 folgt dann L(c) ≥ L(c| [α,s0]) ≥ ϱ > L(γ).
QED
Aufgaben
1. Torsionstensor. Zeigen Sie, dass die Verallgemeinerung von Gleichung (18.1.1)
für Zusammenhänge mit nicht notwendig verschwindendem Torsionstensor lautet
∇ ∂H
∂s ∂t − ∇ ∂H
( ∂H
∂t ∂s = T ∂s , ∂H )
.
∂t
2. Abstandssphären. Sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, und sei p ∈
M. Zeigen Sie, dass für die Abstandssphären
mit Radius r < inj(p) und die Sphären
S(p, r) = {q ∈ M | d(p, q) = r}
S p (0, r) = {X ∈ T p M | ‖X‖ = r}
um den Ursprung im Tangentialraum T p M gilt
exp p (S p (0, r)) = S(p, r).
3. Kurven ohne Umwege. Eine stetige Kurve c : [a, b] → M in einer Riemannschen
Mannigfaltigkeit heiße eine Kurve ohne Umwege, wenn für alle a ≤ t 1 ≤
t 2 ≤ t 3 ≤ b gilt
d(c(t 1 ), c(t 3 )) = d(c(t 1 ), c(t 2 )) + d(c(t 2 ), c(t 3 )).
Zeigen Sie: Ist c eine Kurve ohne Umwege, dann ist c([a, b]) im Bild einer Geodätischen
enthalten.
Hinweis: Betrachten Sie zunächst den Fall d(c(a), c(b)) < inj(c(a)).
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