DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Aufgaben
1. Riemannsche Metriken. Sei M ⊆ N eine Untermannigfaltigkeit der differenzierbaren
Mannigfaltigkeit N, und sei g eine Riemannsche Metrik auf M. Zeigen
Sie, dass eine Riemannsche Metrik ˜g auf N existiert, so dass für alle p ∈ M und
alle X, Y ∈ T p M ⊆ T p N gilt ˜g(p)(X, Y ) = g(p)(X, Y ).
2. Flusslinie. Zeigen Sie, dass jede injektive differenzierbare Kurve c : [a, b] →
M, deren Tangentialvektor ċ(t) nirgends verschwindet, Flusslinie eines geeigneten
differenzierbaren Vektorfeldes auf M mit kompaktem Träger ist.
3. Diffeomorphismengruppe k–fach transitiv. Sei M eine wegzusammenhängende
differenzierbare Mannigfaltigkeit, und seien { p 1 , . . . , p k } und { q 1 , . . . , q k }
zwei k–elementige Teilmengen von M. Zeigen Sie: Es existiert ein Diffeomorphismus
ϕ von M auf sich mit ϕ(p i ) = q i für i = 1, . . . , k. Sind beide Mengen in einer
kompakten Teilmenge K ⊆ M enthalten, dann kann ϕ so gewählt werden, dass
ϕ| M\K die Identitätsabbildung ist. Hinweis: Beginnen Sie mit k = 1 und verwenden
Sie Aufgabe 2.
4. Gerade. Zeigen Sie, dass sich die reelle Gerade in jede nichtkompakte differenzierbare
Mannigfaltigkeit als abgeschlossene Untermannigfaltigkeit einbetten
lässt.
5. Vollständige Vektorfelder. Zeigen Sie, dass eine differenzierbare Mannigfaltigkeit
M genau dann kompakt ist, wenn jedes differenzierbare Vektorfeld auf M
vollständig ist. Hinweis: Verwenden Sie Aufgabe 4.
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