DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

und Gleichung (3.9.1) ist bewiesen. QED
Korollar zum Beweis. Ist (ϕ, U) eine Karte an p, dann ist
∂
∂x 1 ∣ ∣∣∣p
, . . . ,
∂
∂x n ∣ ∣∣∣p
eine Basis von T p M. Unter dem Isomorphismus Φ p entspricht ∂/∂x i∣ ∣
p
dem durch
die i-te Koordinatenlinie durch p gegebenen Tangentialvektor [c] mit
c(t) = ϕ −1( ϕ(p) + (0, . . . , 0, (i)
t , 0, . . . , 0) ) .
3.10. Transformationsverhalten bei Kartenwechsel. ∣ Sind (ϕ, U) und ( ˜ϕ, Ũ)
Karten an p mit den entsprechenden Basisvektoren
∂ ∣p
∂x
und
∂
i ∂ ˜x
| i p , dann gilt
∂
∂x i ∣ ∣∣∣p
=
n∑
j=1
∂( ˜ϕ j ◦ ϕ −1 )
∂x i (ϕ(p))
∂
∂˜x j ∣ ∣∣∣p
. (3.10.1)
Zum Beweis zeigt man, dass beide Seiten, auf beliebiges f ∈ C ∞ (M) angewandt,
dasselbe ergeben. In traditioneller Schreibweise ist der Kartenwechsel ˜ϕ ◦ ϕ −1
dadurch gegeben, dass man die Koordinaten ˜x i als Funktion der x i hat, also
˜x i = ˜x i (x 1 , . . . , x n ),
und man schreibt ∂˜x j /∂x i für das Element ∂( ˜ϕ j ◦ ϕ −1 )/∂x i der Jacobimatrix. Man
erhält so die einprägsame Gleichung
∂
∂x i ∣ ∣∣∣p
=
n∑
j=1
∂˜x j
∂x i (x(p))
∂
∂˜x j ∣ ∣∣∣p
oder, kurz und ungenau,
∂
n
∂x i = ∑
j=1
∂˜x j
∂x i
∂
∂˜x j . (3.10.1)′
Sind X i und ˜X i die Komponenten eines Vektors X ∈ T p M bezüglich der beiden
Basen, also
∣ ∣ n∑
X = X i ∂ ∣∣∣p n∑
∂x i = ˜X i ∂ ∣∣∣p
∂˜x j ,
i=1
dann folgt durch Einsetzen von (3.10.1) und Koeffizientenvergleich
˜X j =
n∑
i=1
i=1
∂( ˜ϕ j ◦ ϕ −1 )
∂x i (ϕ(p)) · X i . (3.10.2)
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