DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

(b) Aus 1 = ||(c ◦ ϕ) ′ || = ||c ′ ◦ ϕ|| · |ϕ ′ | ergibt sich |ϕ ′ | = 1, und daraus die
Behauptung. QED
9.2. Krümmung und Torsion von Kurven. Im folgenden nennen wir eine
zweimal stetig differenzierbare Kurve biregulär, wenn die Ableitungen c ′ (t) und
c ′′ (t) für alle t linear unabhängig sind. Sei c ∈ C 3 ([a, b], R 3 ) biregulär und nach
der Bogenlänge parametrisiert, also ||c ′ || = 1. Der Tangentenvektor e 1 , Hauptnormalenvektor
e 2 und Binormalenvektor e 3 von c sind definiert als
e 1 (s) = c ′ (s)
e 2 (s) =
c′′ (s)
||c ′′ (s)||
e 3 (s) = e 1 (s) × e 2 (s)
Das Tripel (e 1 , e 2 , e 3 ) heißt das begleitende Dreibein oder Frenetsche Dreibein der
Kurve c. Die Krümmung κ und die Torsion τ von c sind definiert als
κ(s) = ||c ′′ (s)||
τ(s) = 〈e ′ 2 (s), e 3(s)〉
(9.2.1)
Dabei bezeichnet 〈·, ·〉 das Standardskalarprodukt des R 3 . Die Torsion ist also die
e 3 –Komponente der Änderung von e 2. Setzt man die Definitionen der e i ein, so
erhält man unter Verwendung der Determinante det
τ = 〈c′ × c ′′ , c ′′′ 〉
κ 2 = det(c′ , c ′′ , c ′′′ )
κ 2 . (9.2.2)
Krümmung und Torsion biregulärer Kurven c ∈ C 3 ([a, b], R 3 ), die nicht notwendig
||c ′ || = 1 erfüllen, werden wie folgt definiert: Man parametrisiert c zunächst nach
der Bogenlänge wie im Lemma von 9.1 und definiert dann κ(t) als die Krümmung
der reparametrisierten Kurve c ◦ ϕ an der Stelle s = ϕ −1 (t), und entsprechend τ(t)
als die Torsion von c ◦ ϕ an der Stelle s = ϕ −1 (t). Für die Krümmung und Torsion
beliebiger biregulärer Kurven ergibt sich dann
κ = ||c′ × c ′′ ||
||c ′ || 3
τ = 〈c′ × c ′′ , c ′′′ 〉
||c ′ × c ′′ || 2 . (9.2.3)
9.3. Bewegungsinvarianz von κ und τ. Bireguläre Kurven, die durch Anwendung
einer euklidischen Bewegung auseinander hervorgehen, haben in entsprechenden
Punkten dieselbe Krümmung, und bis auf Vorzeichen dieselbe Torsion. Dabei
ist eine euklidische Bewegung des R 3 eine Abbildung F : R 3 → R 3 der Gestalt
F (x) = Ax + b mit einer orthogonalen Matrix A ∈ O(3) und mit b ∈ R 3 . Eine
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