DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

das Symbol ∂/∂x i wird anderweitig benötigt.) Indem man ψ durch l ◦ ψ mit einer
geeigneten linearen Abbildung l : R n → R n ersetzt, kann man annehmen, dass für
i = 1, . . . , k gilt
(T ψ)X i (p) = e i (0) .
Seien φ 1 , . . . , φ k die Flüsse der Vektorfelder X 1 , . . . , X k . Dann ist für hinreichend
kleine Umgebungen V ⊆ R n von 0 die Abbildung Φ : V → M,
Φ(x 1 , . . . , x n ) := φ 1 x 1φ2 x 2 · · · φk x kψ−1 (0, . . . , 0, x k+1 , . . . , x n )
definiert und differenzierbar. Wir zeigen zunächst, dass für x ∈ V und i = 1, . . . , k
gilt
(T Φ)e i (x) = X i (Φ(x)) . (7.8.1)
In der Tat ist (T Φ)e i (x) = ċ(0) mit der Kurve
c(t) = Φ(x 1 , . . . , x i + t, . . . , x n )
= φ i x i +t φ1 x 1 · · · ̂φ i x i · · · φ k x kψ−1 (0, . . . , 0, x k+1 , . . . , x n ) .
Dabei wurde die Vertauschbarkeit der Flüsse verwendet, um φ i x i +t
an die erste
Stelle zu schreiben. Die Kurve c ist also eine Integralkurve von X i , und daher
ist insbesondere ċ(0) = X i (c(0)) = X i (Φ(x)). Damit ist die Behauptung (7.8.1)
bewiesen. Speziell mit x = 0 erhalten wir
(T Φ)e i (0) = X i (p) = (T ψ) −1 e i (0) (7.8.2)
für i ≤ k. Für i > k ist andererseits (T Φ)e i (0) = ċ(0) mit der Kurve
c(t) = Φ(0, . . . , 0, t, 0, . . . , 0) = ψ −1 (0, . . . , 0, t, 0, . . . , 0),
wobei t jeweils an i–ter Stelle steht. Daher gilt Gleichung (7.8.2) auch für i =
k +1, . . . , n. Insgesamt folgt nun T 0 Φ = T 0 ψ −1 für die Ableitungen an 0, und damit
ist T 0 Φ invertierbar. Nach dem Satz über inverse Funktionen (siehe 4.2) bildet
Φ eine Umgebung von 0 diffeomorph auf eine Umgebung U ⊆ M von p ab. Wir
wählen als Karte (ϕ, U) = (Φ −1 , U). Für die Basisfelder ∂/∂x i dieser Karte zeigt
Gleichung (7.8.1)
∂
∂x i ∣ ∣∣∣q
= (T ϕ −1 )e i (ϕ(q)) = X i (Φ(ϕ(q))) = X i (q) ,
und der Beweis ist beendet. QED
Korollar. Sei X ein differenzierbares Vektorfeld auf M, und sei p ∈ M ein Punkt
mit X(p) ≠ 0. Dann existiert eine Karte (ϕ, U) von M mit p ∈ U und
X| U = ∂
∂x 1 .
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