DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Beweis des Satzes. Sei { (ϕ α , U α ) | α ∈ Λ } ⊆ A ein Atlas für M mit der Eigenschaft,
dass für alle α ∈ Λ mit U α ∩ N ≠ ∅ die Karte (ϕ α , U α ) im Sinne von Definition
2.8 an die Untermannigfaltigkeit N angepasst ist. Dabei kann man annehmen, dass
ϕ α (U α ) = R n+l ist, und dass
gilt. Bezüglich der Karte (ϕ α , U α ) ist
ϕ α (U α ∩ N) = R n × {0} ⊆ R n+l
X| Uα∩N =
n∑
i=1
X i α
∂
∂x i ∣ ∣∣∣N
mit auf U α ∩ N definierten Komponentenfunktionen X i α. Wir setzen nun zunächst
die Einschränkung X| Uα∩N zu einem differenzierbaren Vektorfeld ˜X α auf U α fort.
Dazu setzen wir ˜X α = 0, wenn U α ∩ N = ∅ ist, und andernfalls
˜X α (p) =
n∑
i=1
Xα
i (
ϕ
−1
α ◦ π ◦ ϕ α(p) ) ∣
∂ ∣∣∣p
∂x i
für p ∈ U α , wobei π : R n+l → R n die Projektion auf die ersten n Komponenten
bezeichnet.
Die Fortsetzungen ˜X α fügen wir nun mit Hilfe einer Partition der Eins zu einem
differenzierbaren Vektorfeld ˜X auf M zusammen. Sei dazu { ϱ α | α ∈ Λ } eine der
Überdeckung { U α | α ∈ Λ } untergeordnete Zerlegung der Eins. Wir definieren
˜X = ∑ α∈Λ
ϱ α ˜Xα ,
also für p ∈ M
˜X(p) = ∑ α∈Λ
ϱ α (p) ˜X α (p) .
Dabei ist ϱ α (p) ˜X α (p) = 0 zu setzen wenn ϱ α (p) = 0 ist.
˜X α (p) = X(p), also
( ∑ )
˜X(p) = ϱ α(p) X(p) = X(p) .
α∈Λ
Für p ∈ N ∩ U α gilt
QED
8.6. Satz. (Existenz Riemannscher Metriken) Auf jeder differenzierbaren Mannigfaltigkeit
existiert eine Riemannsche Metrik g.
Beweis. Sei { (ϕ α , U α ) | α ∈ Λ } ⊆ A ein Atlas. Wir definieren eine Riemannsche
Metrik g α auf U α mit Hilfe der Koordinatendifferentiale dx i α = dϕ i α durch
g α = ∑ n
i=1 dϕi α ⊗ dϕi α .
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