DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

wenn also in der Notation aus Abschnitt 7.7 gilt
L a∗ X = T L a ◦ X ◦ L −1
a = X.
Da die Gruppenoperation µ differenzierbar ist, ist jedes linksinvariante Vektorfeld
differenzierbar. Ist e ∈ G das neutrale Element und ist X e ∈ T e G, dann existiert
genau ein linksinvariantes Vektorfeld X auf G mit X(e) = X e , definiert durch
X(a) = (T L a )X e
für a ∈ G. Wählt man eine Basis X 1 (e), . . . , X n (e) von T e G, dann liefert die
Definition X j (a) = (T L a )X j (e) ein linksinvariantes Repèrefeld X 1 , . . . , X n auf G.
Lemma 1. Es existiert genau ein Zusammenhang ∇ 0 auf G mit der Eigenschaft,
dass jedes linksinvariante Vektorfeld X parallel ist, also ∇ 0 X = 0 gilt.
Beweis. Sei X 1 , . . . , X n ein linksinvariantes Repèrefeld auf G und seien Y, Z ∈ V(G).
Dann ist Z = Z i X i mit Komponentenfunktionen Z i ∈ C ∞ (G). Wenn ∇ 0 existiert,
dann ist notwendig ∇ 0 Y Z = Y (Zi )X i + Z i ∇ 0 Y X i = Y (Z i )X i , also
∇ 0 Y Z =
n∑
Y (Z i ) X i . (17.8.1)
i=1
Damit ist die Eindeutigkeit von ∇ 0 gezeigt. Umgekehrt sieht man leicht, dass
nach Wahl eines linksinvarianten Repèrefeldes durch (17.8.1) ein Zusammenhang
definiert wird, für den alle linksinvarianten Vektorfelder parallel sind. Wegen der
Eindeutigkeit ist dieser Zusammenhang unabhängig von der Wahl des linksinvarianten
Repèrefeldes. QED
Lemma 2. Eine differenzierbare Kurve c : I → G ist genau dann eine Geodätische
von ∇ 0 , wenn c Integralkurve eines linksinvarianten Vektorfeldes X ∈ V(G) ist.
Beweis. Ist c eine Integralkurve von X, also ċ = X ◦ c, dann gilt nach Abschnitt
15.1
∇ 0 ċ
dt
= ∇0 (X ◦ c)
dt
= ∇ 0 ċ X = 0.
Also ist c eine Geodätische von ∇ 0 . Nun sei umgekehrt c eine Geodätische, t 0 ∈ I
und a = c(t 0 ). Sei X das linksinvariante Vektorfeld mit X(a) = ċ(t 0 ), und sei
γ : J → G die maximale Integralkurve von X mit γ(t 0 ) = a. Nach dem bereits
Bewiesenen ist γ eine Geodätische von ∇ 0 , und es gilt
˙γ(t 0 ) = X(γ(t 0 )) = X(a) = ċ(t 0 ).
Die Eindeutigkeitsaussage für Geodätische aus Satz 17.2(b) zeigt nun, dass c = γ| I
gilt. Also ist c Integralkurve des linksinvarianten Vektorfeldes X. QED
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