DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Man erhält also dasselbe Ergebnis, wenn man zuerst kovariant ableitet und dann
φ (in Gestalt von φ ∗ ) anwendet, wie wenn man zunächst φ auf X und Y anwendet
und danach kovariant ableitet: Das Anwenden affiner Abbildungen kommutiert,
grob gesprochen, mit der kovarianten Ableitung. Und man kann leicht zeigen
(Aufgabe 2), dass diese Eigenschaft die affinen Abbildungen des R n unter allen
Diffeomorphismen charakterisiert.
Zum Beweis des Lemmas sei etwa X ∈ T p R n und Y = Y k ∂/∂x k . Dann ist
(
(T φ)(∇ X Y ) = (T φ) X(Y k )
= X(Y k ) ∂φl
∂x k (p)
= X(Y k ) A l k
∣
∂ ∣∣∣p )
∂x k
∂
∂x l ∣
∣∣∣φ(p)
∂
∂x l ∣
∣∣∣φ(p)
.
Andererseits ist
(
(φ ∗ Y )(q) = (T φ) Y k (φ −1 (q))
∣
∂ ∣∣∣φ )
∂x k −1 (q)
= Y k (φ −1 (q)) ∂φl
∂x k (φ−1 (q))
∂
∂x l ∣ ∣∣∣q
,
also
φ ∗ Y = (Y k ◦ φ −1 ) A l ∂
k
∂x l .
Da die Matrixkoeffizienten A l k konstant sind, erhält man
∣
∇ (T φ)X (φ ∗ Y ) = ((T φ)X)((Y k ◦ φ −1 ) A l k ) ∂ ∣∣∣φ(p)
∂x l
∣ ,
= X(Y k ) A l ∂ ∣∣∣φ(q)
k
∂x l
und das Lemma ist bewiesen. QED
Mit Hilfe des Lemmas und der Gleichung (11.7.1) ergibt sich die Proposition wie
folgt. Es ist
(T φ)(L M X) = (T φ)(−∇ X ν M )
= −∇ (T φ)X (T φ ◦ ν M ◦ φ −1 )
= ∓ ∇ (T φ)X ν N
= ± L N ((T φ)X) .
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