DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

(a) (M, g) ist flach.
(b) Zu jedem Punkt p ∈ M existieren eine Umgebung U von p und eine Isometrie
φ : (U, g| U ) → (V, ḡ| V ) auf eine offene Teilmenge V ⊆ R n .
Beweis. Ist (M, g) flach, dann findet man wie im Beweis von Satz 16.8 ein paralleles
Repèrefeld
X 1 =
∂
∂x 1 , . . . , X n =
∂
∂x n ,
welches aus den Basisfeldern einer Karte (ϕ, U) besteht. Wählt man dabei für
X 1 (p), . . . , X n (p) eine Orthonormalbasis von T p M, dann sind diese Vektorfelder in
jedem Punkt von U orthonormal, weil sie parallel sind und Parallelverschiebung
nach 15.5 isometrisch ist. Setzt man ψ = ϕ, dann gilt mit den Standardbasisfeldern
e 1 , . . . , e n des R n für q ∈ U
ḡ((T ψ)X i (q), (T ψ)X j (q)) = ḡ(e i (ψ(q)), e j (ψ(q))
= δ ij
= g(X i (q), X j (q)),
und folglich ψ ∗ ḡ = g. Also ist ψ eine Isometrie. Zum Beweis der umgekehrten Implikation
(b)⇒(a) beachtet man, dass Isometrien zwischen Riemannschen Mannigfaltigkeiten
auch affine Diffeomorphismen bezüglich der zugehörigen Levi–Civita–
Zusammenhänge sind (Aufgabe 2). Die Behauptung R = 0 folgt nun aus Bemerkung
(d) in Abschnitt 16.7. QED
Aufgaben
1. Krümmungstensor. Verifizieren Sie, dass die in (16.1.1) definierte Abbildung
R in allen drei Variablen linear über dem Ring C ∞ (M) ist.
2. Affine Diffeomorphismen. Zeigen Sie, dass jede Isometrie zwischen Riemannschen
Mannigfaltigkeiten ein affiner Diffeomorphismus bezüglich der Levi–Civita–
Zusammenhänge ist. Hinweis: Verwenden Sie die Eindeutigkeit des Levi–Civita–
Zusammenhanges.
3. Geodätische und affine Diffeomorphismen. Zeigen Sie, dass affine Diffeomorphismen
Geodätische in Geodätische abbilden: Ist ψ : (M, ∇) → (M ′ , ∇ ′ ) ein
affiner Diffeomorphismus, und ist c : I → M eine Geodätische von ∇, dann ist
c ′ = ψ ◦ c eine Geodätische von ∇ ′ . Gilt die Umkehrung?
4. Wegabhängigkeit der Parallelverschiebung. Sei ∇ ein Zusammenhang auf
einer Mannigfaltigkeit M, und sei H : [0, 1] × [a, b] → M eine differenzierbare
Abbildung. Mit P s,t werde die Parallelverschiebung entlang der Kurve c s = H(s, ·)
von t nach b bezeichnet. Es ist also
P s,t = P cs
b,t : T H(s,t)M → T H(s,b) M
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