DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Für das so definierte Vektorfeld zeigen wir nun ∇X = 0. Dazu genügt es, zu
beweisen, dass X ◦ c längs jeder Kurve c ∈ C ∞ ([0, 1], U) parallel ist. Für festes
t ∈ [0, 1] ist die Einschränkung c| [0,t] homotop zur Zusammensetzung γ 1 · γ 2 zweier
radialer Kurven, und nach Konstruktion ist X parallel entlang γ 1 und γ 2 . Da nach
Voraussetzung die Parallelverschiebung von X(c(0)) längs c| [0,t] und längs γ 1 · γ 2
dasselbe ergibt, folgt
Also ist X ◦ c parallel längs c.
P c t,0X(c(0)) = P γ2 P γ1 X(c(0)) = X(c(t)).
(c)⇒(d) Man wählt eine Basis X 1 (p), . . . , X n (p) von T p M und wendet (c) auf jeden
der Vektoren X i (p) an, um das gewünschte Repèrefeld auf U zu erhalten.
(d)⇒(a) Sei X 1 , . . . , X n ein paralleles Repèrefeld auf U ⊆ M. Nach Definition des
Krümmungstensors ist dann R(X i , X j )X k = 0. Da die Vektorfelder X i an jeder
Stelle von U eine Basis des Tangentialraumes bilden, verschwindet R auf U. QED
Bemerkung. Zum Beweis der Implikation (b)⇒(c) sei bemerkt, dass sich die
Kurve γ 1 · γ 2 als C ∞ –Kurve parametrisieren lässt und dann C ∞ –homotop zu c| [0,t]
ist. Um die etwas mühsame Durchführung zu vermeiden, könnte man stattdessen
stückweise differenzierbare Kurven und Homotopien betrachten und Aussage (b)
entsprechend modifizieren.
16.6. Ein zweiter Beweis. Wir skizzieren noch einen zweiten Beweis für die
Implikation (a)⇒(b), der die Beziehung (16.4.2) verwendet. Sei
H : A = [0, 1] × [0, 1] → M
eine differenzierbare Abbildung, p = H(0, 0) und q = H(1, 1). Mit P : T p M → T q M
bezeichnen wir die Parallelverschiebung längs der Kurve c 1 (s) = H(s, 0) und dann
längs c 2 (t) = H(1, t); mit P ′ : T p M → T q M die Parallelverschiebung entlang
c 3 (t) = H(0, t), gefolgt von der längs c 4 (s) = H(s, 1). Wir zeigen P ′ = P .
Dazu unterteilen wir das Quadrat A in m 2 Teilquadrate A 1 , . . . , A m 2 der Seitenlänge
1/m und ändern den Weg γ 0 := c 1 · c 2 nach und nach ab in Wege γ 1 , γ 2 , . . . , γ m 2
dergestalt, dass sich γ i+1 von γ i nur dadurch unterscheidet, dass das Quadrat A i+1
“anders herum” umfahren wird (Skizze). Nach m 2 solcher Änderungen erhalten wir
schließlich die Kurve γ m 2 = c 3 · c 4 . Bezeichnet P i die Parallelverschiebung entlang
γ i von p nach q, dann ist P 0 = P und P m 2 = P ′ , und nach (16.4.1) gilt wegen R = 0
( 1
)
P −1
i+1 ◦ P i = I + O
m 3
da 1/m die Seitenlänge von A i ist. Daraus folgt
( 1
)
P i+1 − P i = O
m 3
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