DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Entsprechendes gilt für Y . Für p ∈ M ∩ U folgt mit der Schreibweise X p := X(p)
[ ˜X, n Ỹ ](p) = ∑ ( ˜Xp Ỹ i − Ỹp ˜X i) ∣
∂ ∣p i
=
=
i=1
n∑ (
Xp (Ỹ i | M ) − Y p ( ˜X i | M ) ) ∣
∂ ∣p i
i=1
m∑
(X p Y i − Y p X i ) ∂ i | p
i=1
= [X, Y ](p).
Ein zweiter Beweis des Lemmas ergibt sich aus Gleichung (7.7.1),
[X, Y ](p) = lim
t→0
(T φ −t )Y φt(p) − Y p
t
und der entsprechenden Gleichung für [ ˜X, Ỹ ](p), indem man beachtet, dass für jeden
Punkt p ∈ M die Flusslinie ˜φ t (p) von ˜X in M verläuft und mit der Flusslinie φ t (p)
des Vektorfeldes X übereinstimmt. QED
14.11. Zusammenhänge in Vektorraumbündeln. (r, s)–Tensorfelder auf M
sind, wie wir in Abschnitt 6.8 gesehen haben, Schnitte des Vektorbündels T s r M
der (r, s)–Tensoren. Die kovariante Ableitung von Tensorfeldern ordnet sich dem
allgemeinen Begriff des Zusammenhanges auf einem Vektorbündel unter, auf den
wir nun noch kurz eingehen. Sei E (genauer: (E, M, π)) ein Vektorbündel über
M, und sei Γ(E) = Γ(M, E) die Menge seiner differenzierbaren Schnitte. Ein
Zusammenhang auf E ist eine Abbildung
∇ : V(M) × Γ(E) → Γ(E)
mit folgenden Eigenschaften: Für alle Vektorfelder X, Y ∈ V(M), alle ξ, ζ ∈ Γ(E)
und alle f ∈ C ∞ (M) gilt
(1) ∇ X (ξ + ζ) = ∇ X ξ + ∇ X ζ
(2) ∇ X+Y ξ = ∇ X ξ + ∇ Y ξ
(3) ∇ fX ξ = f∇ X ξ
(4) ∇ X (fξ) = (Xf) ξ + f∇ X ξ
Zusammenhänge auf M im Sinne von 14.1 sind in dieser Terminologie Zusammenhänge
auf dem Tangentialbündel T M. Der Schnitt ∇ X ξ heißt die kovariante
Ableitung von ξ nach X. Die Eigenschaften aus 14.3 übertragen sich ohne weiteres
auf diese allgemeinere Situation. Eine lokale Beschreibung durch Christoffelsymbole
ist wie folgt möglich: Jeder Punkt p ∈ M besitzt eine Umgebung U, auf der
Schnitte σ 1 , . . . , σ m ∈ Γ(U, E) des eingeschränkten Bündels E| U existieren, die in
143