DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Also ist
(Xf) ◦ ϕ −1 =
n∑
i=1
X i ◦ ϕ −1 ∂(f ◦ ϕ−1 )
∂x i ,
und das ist in der Tat eine C ∞ –Funktion auf ϕ(U) ⊆ R n . Diese Beziehung zeigt
auch, dass für Funktionen f ∈ C k (M) die entsprechende Funktion Xf ∈ C k−1 (M)
ist.
Offenbar gelten für f, g ∈ C ∞ (M) und für λ ∈ R die Beziehungen
X(f + g) = Xf + Xg
X(λf) = λ Xf
X(fg) = Xf · g + f · Xg
Beispiele. (a) Sei (ϕ, U) eine Karte und sei f ∈ C ∞ (U). Dann ist nach Definition
der Basisfelder ∂/∂x i der Karte
∂
∂x i f = ∂(f ◦ ϕ−1 )
∂x i ◦ ϕ ,
wobei auf der rechten Seite dieser Gleichung eine gewöhnliche partielle Ableitung
in R n steht. Diese Funktion hatten wir in 4.14 bereits mit ∂f/∂x i bezeichnet.
(b) Sei (ϕ, U) eine Karte, und sei X ein Vektorfeld auf M. Dann gilt nach Gleichung
(3.8.2)
n∑
X| U = X(ϕ i ) ∂
∂x i .
i=1
Satz. Sei A : C ∞ (M) → C ∞ (M) eine R–lineare Abbildung mit der Eigenschaft
A(fg) = A(f) · g + f · A(g)
(Produktregel)
für alle f, g ∈ C ∞ (M). Dann existiert genau ein Vektorfeld X ∈ V(M) mit A(f) =
Xf für alle f ∈ C ∞ (M).
Die Produktregel besagt, dass A eine Derivation des Ringes C ∞ (M) im Sinne der
Algebra ist. Zum Beweis des Satzes bemerken wir, dass die Abbildung f ↦→ (Af)(p)
eine Derivation an p, also ein Element X p ∈ T p M ist (siehe 3.5 und 3.7). Wir
definieren das Vektorfeld X durch X(p) := X p und müssen nur noch zeigen, dass X
differenzierbar ist. Bezüglich einer Karte (ϕ, U) ist X| U = ∑ X(ϕ i ) ∂/∂x i . Nach
Voraussetzung ist X(ϕ i ) = A(ϕ i ) ∈ C ∞ (U), und das Lemma in 4.8 ergibt die
Behauptung. QED
7.2. Lieklammer. Seien X und Y differenzierbare Vektorfelder auf M. Wir
definieren die Abbildung A : C ∞ (M) → C ∞ (M) durch Af = X(Y f) − Y (Xf),
also
(Af)(p) = X p (Y f) − Y p (Xf) .
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