DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

für X, Y ∈ T a G. Die dadurch gegebene Abbildung g(e) ↦→ g ist offensichtlich invers
zur Auswertungsabbildung, so dass die Bijektivität bewiesen ist. Ist die Metrik g
biinvariant, dann zeigt (21.3.2), dass das Skalarprodukt g(e) unter Ad a invariant
ist. Ist umgekehrt g(e) unter Ad a = T e (Inn a ) invariant, dann ist nach Aufgabe 7
jeder Gruppenautomorphismus Inn a eine Isometrie. Wegen R a = L a −1 ◦ Inn a −1 ist
dann jede Rechtsmultiplikation R a eine Isometrie, also g biinvariant. QED
Lemma 2. Ist V ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, und ist H ≤ GL(V )
eine kompakte Untergruppe der Gruppe GL(V ) der Vektorraumautomorphismen von
V , dann gibt es ein Skalarprodukt 〈·, ·〉 auf V , welches unter allen Elementen h ∈ H
invariant ist.
Zum Beweis von Lemma 2, den wir hier lediglich skizzieren, wählt man ein beliebiges
Skalarprodukt 〈·, ·〉 0 auf V und “mittelt” es über die Gruppe H, indem man definiert
∫
〈v, w〉 = 〈hv, hw〉 0 dµ(h).
H
Bei dieser Integration ist ein rechtsinvariantes Maß (ein sogenanntes Haarsches Maß)
µ auf H zu verwenden, auf dessen Definition wir hier nicht eingehen. † Man erhält
auf diese Weise ein neues Skalarprodukt 〈·, ·〉 auf V , welches unter H invariant ist.
In der Tat gilt für k ∈ H
∫
〈kv, kw〉 = 〈hkv, hkw〉 0 dµ(h)
H
∫
= 〈hkv, hkw〉 0 dµ(hk)
H
∫
= 〈hv, hw〉 0 dµ(h)
H
= 〈v, w〉.
Satz. Auf jeder kompakten Liegruppe G existiert eine biinvariante Riemannsche
Metrik. Dasselbe gilt allgemeiner für jede Liegruppe, deren Bild Ad(G) ⊆ GL(T e G)
unter der adjungierten Darstellung kompakt ist.
Beweis. Wir wenden Lemma 2 an mit V = T e G und H = Ad(G). Man erhält
ein Ad(G)–invariantes Skalarprodukt auf T e G, und nach Lemma 1 eine biinvariante
Riemannsche Metrik auf G. QED
† Man erhält ein solches Maß etwa auf folgende Weise. Ein bekannter Satz über
Liegruppen besagt, dass jede abgeschlossene Untergruppe H einer Liegruppe eine
Untermannigfaltigkeit ist. Bezüglich der dadurch gegebenen C ∞ –Struktur ist dann
offenbar H selbst eine Liegruppe. Insbesondere ist unsere kompakte Gruppe H ≤
GL(V ) also eine Liegruppe. Sie hat daher rechtsinvariante Riemannsche Metriken
(Lemma 1). Als rechtsinvariantes Maß µ nimmt man das in Abschnitt 10.7 definierte
Lebesguesche Maß einer solchen Metrik.
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