DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

enthielte dann Kurven von p nach q, die kürzer wären als c, im Widerspruch zur
Wahl von c. QED
Korollar (zum Beweis). Ist die Geodätische c : [0, l] → M mit ‖ċ‖ = 1 kürzeste
Verbindung ihrer Endpunkte, also d(c(0), c(l)) = L(c), und erfüllt die Riccikrümmung
entlang c die Ungleichung Ric(ċ, ċ) ≥ (n−1)κ > 0, dann ist L(c) ≤ π/ √ κ.
21.3. Invariante Riemannsche Metriken auf Liegruppen. Wir verwenden die
Bezeichnungen aus Abschnitt 17.8. Eine Riemannsche Metrik g auf einer Liegruppe
G heißt linksinvariant, wenn alle Linkstranslationen L a : G → G Isometrien sind,
wenn also für alle a ∈ G gilt L ∗ ag = g. Die Metrik heißt rechtsinvariant, wenn alle
Rechtstranslationen R a : G → G, R a b = ba Isometrien sind, und biinvariant, wenn
sie zugleich links- und rechtsinvariant ist. Indem man Cauchyfolgen in G betrachtet,
sieht man leicht ein (Aufgabe 5), dass jede links- oder rechtsinvariante Riemannsche
Metrik auf einer Liegruppe vollständig ist.
Jedes Element a ∈ G induziert einen Gruppenautomorphismus Inn a : G → G,
Inn a b = aba −1 . (21.3.1)
Solche Automorphismen bezeichnet man als innere Automorphismen von G. Die
adjungierte Darstellung von G ist die Abbildung
Ad : G → GL(T e G),
welche jedem Gruppenelement a ∈ G die Ableitung Ad(a) = Ad a der Abbildung
Inn a = L a R a −1 = R a −1L a im neutralen Element zuordnet. Es ist also
Ad a = T e (Inn a )
= T e (L a ◦ R a −1)
= T a −1L a ◦ T e R a −1.
(21.3.2)
Lemma 1. Die Auswertungsabbildung g ↦→ g(e) ist eine Bijektion zwischen der
Menge der linksinvarianten Riemannschen Metriken g auf G und der Menge aller
Skalarprodukte auf dem Tangentialraum T e G im neutralen Element. Dabei ist die
linksinvariante Metrik g genau dann biinvariant, wenn das entsprechende Skalarprodukt
invariant ist unter der adjungierten Darstellung Ad, wenn also für alle a ∈ G
und alle Vektoren X, Y ∈ T e G gilt
g(e)(Ad a X, Ad a Y ) = g(e)(X, Y ).
Beweis. Ist ein Skalarprodukt g(e) auf T e G gegeben, dann erhält man eine linksinvariante
Riemannsche Metrik g auf G durch die Festlegung g(a) = L ∗ a −1 (g(e)), also
g(a)(X, Y ) = g(e)((T L a −1)X, (T L a −1)Y )
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