DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

{
c 2 (t) = (t, 0, e
−1/t 2 ), t ≠ 0
0, t = 0
definierten Kurven c 1 , c 2 ∈ C ∞ (R, R 3 ) sind nicht biregulär an t = 0. Sie haben die
gleiche Krümmung κ und die gleiche Torsion τ = 0 auf R \ {0}, da sich ihre Einschränkungen
auf die Intervalle (−∞, 0) und (0, ∞) jeweils durch eine euklidische
Bewegung ineinander überführen lassen. Es existiert aber keine euklidische Bewegung
F mit F ◦ c 1 = c 2 auf ganz R. Die Eindeutigkeitsaussage von Satz 9.6 gilt
also in diesem Fall nicht, obwohl die Voraussetzung der Biregularität nur in einem
Punkt verletzt ist.
9.9. Beispiel. Die durch c(t) = (a cos t, a sin t, bt) definierte Abbildung c : R → R 3
mit reellen Konstanten a > 0 und b, beschreibt eine Schraubenlinie mit Radius a
und Ganghöhe 2πb. Man berechnet, dass c konstante Krümmung und Torsion hat,
und zwar ist κ = a/(a 2 +b 2 ) und τ = b/(a 2 +b 2 ). Sind umgekehrt Konstanten κ > 0
und τ vorgegeben, dann gibt es eine Schraubenlinie mit Krümmung κ und Torsion
τ, nämlich diejenige mit a = κ/(κ 2 +τ 2 ) und b = τ/(κ 2 +τ 2 ). Als Folgerung aus der
Eindeutigkeitsaussage in 9.6 erhält man nun: Jede bireguläre Kurve mit konstanter
Krümmung und konstanter Torsion ist (bis auf Umparametrisierung und euklidische
Bewegung) eine Schraubenlinie.
Aufgaben
1. Spirale. Berechnen Sie Krümmung und Torsion der Spirale in Beispiel 9.9.
2. Lokale Gestalt von Raumkurven. (a) Zeigen Sie, dass für nach der Bogenlänge
parametrisierte bireguläre Raumkurven c folgende Taylorentwicklung gilt:
c(s) = c(0) +
(s − κ2 0 s3
6
) ( κ0 s 2
e 1 (0) +
2
)
+ κ′ 0 s3
e 2 (0) + κ 0τ 0 s 3
e 3 (0) + R(s)
6
6
Dabei bezeichnet e 1 , e 2 , e 3 das Frenetsche Dreibein, es ist κ 0 = κ(0) und κ ′ 0 = κ ′ (0),
und es gilt lim s→0 R(s)/s 3 = 0.
(b) Wir betrachten nun die Kurve
γ(s) =
(s − κ2 0 s3
6
) ( κ0 s 2
v 1 +
2
)
+ κ′ 0 s3
v 2 + κ 0τ 0 s 3
v 3 ,
6
6
(∗)
die sich aus der Entwicklung in (a) mit v j := e j (0) durch Verschieben des Koordinatenursprungs
und Vernachlässigen des Restterms R(s) ergibt. Bestimmen und
skizzieren Sie die senkrechten Projektionen von γ auf die drei Ebenen Spann(v 1 , v 2 ),
Spann(v 2 , v 3 ) und Spann(v 1 , v 3 ). Diese Ebenen nennt man die Schmiegebene, die
Normalenebene und die rektifizierende Ebene der Kurve c im Punkt c(0).
3. Kurve. Die Kurve γ sei definiert durch Gleichung (∗) in Aufgabe 2 mit Konstanten
κ 0 > 0, κ ′ 0 und τ 0 und mit einer Orthonormalbasis v 1 , v 2 , v 3 = v 1 × v 2 des
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