DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Wir zeigen nun, dass die Riemannschen Mannigfaltigkeiten (M, g) und ( ¯M, ḡ) isometrisch
sind. Gesucht ist also eine Isometrie φ : M → ¯M. Wir suchen stattdessen
den Diffeomorphismus α = ¯ψ −1 ◦φ◦ψ von W auf ¯W und formulieren die Bedingung
φ ∗ ḡ = g um in ein Gleichungssystem für α. Es ist
φ ∗ ḡ = g ⇐⇒ ( ¯ψ ◦ α ◦ ψ −1 ) ∗ ḡ = g
⇐⇒ (ψ −1 ) ∗ α ∗ ¯ψ∗ḡ = g
⇐⇒ α ∗ ¯ψ∗ḡ = ψ ∗ g
⇐⇒ ∀i, j : ( ¯ψ
(
∗ ḡ)
(T α) ∂ ∂
)
, (T α)
∂wi ∂w j
( ∂
= (ψ ∗ g)
∂w i ,
∂
)
∂w j
∂α k ∂α l
⇐⇒ ∀i, j :
∂w i ∂w j ḡkl ◦ ¯ψ ◦ α = g ij ◦ ψ
⎧ ( ∂α
1 ) 2(1 ( ∂α
⎪⎨ + (α 2
∂w
⇐⇒
1 ) 2 2 ) 2
) + = (cosh w 2
∂w 1 ) 2
(
⎪⎩ ∂α
1 ) 2(1 ( ∂α + (α 2
∂w 2 ) 2 2 ) 2
) + = (cosh w 2
∂w 2 ) 2
Die Gleichung φ ∗ ḡ = g übersetzt sich also in ein nichtlineares System partieller
Differentialgleichungen erster Ordnung für α. Für derartige Systeme kann man
nicht allgemein die Existenz von Lösungen erwarten—schon weil beliebige Flächen
nicht lokal isometrisch sein müssen. Im vorliegenden Fall führt aber der Ansatz
α 1 (w 1 , w 2 ) = a(w 1 ), α 2 (w 1 , w 1 ) = b(w 2 ) zur Lösung α(w 1 , w 1 ) = (w 1 , sinh w 2 ). Es
sei angemerkt, dass diese Isometrie nicht dem Zufall entspringt: Katenoid und Helikoid
sind Beispiele zueinander assoziierter Minimalflächen, und derartige Flächen
sind stets lokal isometrisch.
10.10. Einbettungssatz von Nash. Der Whitneysche Einbettungssatz aus
Abschnitt 8.7 zeigt, dass jede differenzierbare Mannigfaltigkeit diffeomorph ist zu
einer Untermannigfaltigkeit eines R m . Eine viel weiter gehende Aussage macht
der Einbettungssatz von John Nash (1956). Er besagt, dass jede Riemannsche
Mannigfaltigkeit (M, g) isometrisch in einen R m , versehen mit der Standardmetrik
g R m, eingebettet werden kann. Insbesondere ist also (M, g) isometrisch zu einer
Untermannigfaltigkeit des R m , versehen mit der ersten Fundamentalform. Ist
dabei M von der Klasse C ∞ und n–dimensional, dann genügt die Dimension m =
(n + 2)(n + 3)/2, und speziell im Fall n = 2 ist m = 6 ausreichend.
Aufgaben
1. Flächeninhalt von Rotationsflächen. (a) Sei M ⊆ R 3 eine Rotationsfläche,
deren erzeugende Kurve c : [0, l] → M nach der Bogenlänge parametrisiert ist. Der
Abstand des Punktes c(s) zur Rotationsachse werde mit ρ(s) bezeichnet. Zeigen
Sie, dass der Flächeninhalt von M gegeben ist durch
2π
∫ l
0
ρ(s) ds .
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