DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Aufgrund des in 14.3 Gesagten ist die linke Seite wohldefiniert, obwohl die Vektorfelder
∂/∂x i nur auf U existieren. Es folgt
also
(∇ X Y )| U = X(Y j ) ∂
∂x j + Y j X i ∂
∇ ∂
∂x i ∂x j
= X(Y k ) ∂
∂x k + Xi Y j k
Γ ∂
ij
∂x k ,
(∇ X Y ) ∣ = ( X(Y k ) + X i Y j k
Γ ) ∂
ij
U ∂x k . (14.4.2)
Korollar. Das Tensorfeld ∇Y ist in lokalen Koordinaten gegeben durch
(∇Y )| U = ( ∂
∂x i Y k + Y j k
Γ ) ij dx i ⊗
∂
∂x k . (14.4.3)
Beweis. Man wendet beide Seiten der Gleichung auf ein Vektorfeld X = X i ∂/∂x i
an und beachtet
(
dx i ⊗
∂ )
∂x k (X) = dx i (X) ∂
∂x k = ∂
Xi
∂x k .
Die Behauptung folgt aus (14.4.2). QED
Wir untersuchen nun das Transformationsverhalten der Γ k ij bei Kartenwechseln.
Seien dazu (ϕ, U) und ( ˜ϕ, Ũ) Karten von M mit entsprechenden Basisvektorfeldern
∂ i = ∂/∂x i und ˜∂ i = ∂/∂˜x ′i . Nach Abschnitt 3.10 ist
∂ i = ∂˜xk
∂x i
˜∂k = ∂ i (˜x k ) ˜∂ k
wobei ˜x k die k-te Komponente von ˜ϕ bezeichnet. Damit folgt
Γ ij k ∂ k = ∇ ∂i ∂ j
= ∇ ∂i (∂ j (˜x m ) ˜∂ m )
= ∂ i ∂ j (˜x m ) ˜∂ m + ∂ j (˜x m )∇ ∂i
˜∂m
= ∂ i ∂ j (˜x m ) ˜∂ m + ∂ j (˜x m )∂ i (˜x l ) ∇ ˜∂l
˜∂m
= ∂ i ∂ j (˜x s ) ˜∂ s + ∂ j (˜x m )∂ i (˜x l ) ˜Γ lm
s ˜∂s
= ( ∂ i ∂ j (˜x s ) + ∂ i (˜x l )∂ j (˜x m )˜Γ lm
s ) ˜∂s (x k ) ∂ k ,
also
oder
Γ ij k = ( ∂ i ∂ j (˜x s ) + ∂ i (˜x l )∂ j (˜x m )˜Γ lm
s ) ˜∂s (x k )
Γ ij k =
( ∂
( ∂˜x
s )
∂x i ∂x j + ˜Γ s ∂˜xl ∂˜x m ) ∂x
k
lm
∂x i ∂x j ∂˜x s . (14.4.4)
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