DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

23. Jacobifelder und Indexlemma
Jacobifelder sind Vektorfelder längs einer Geodätischen c in einer Riemannschen
Mannigfaltigkeit M, die der Jacobigleichung, einer linearen gewöhnlichen Differentialgleichung
zweiter Ordnung, genügen. Sie sind charakterisiert als die Variationsvektorfelder
derjenigen Variationen von c = c 0 , bei denen alle Nachbarkurven
c s Geodätische sind. Es zeigt sich insbesondere, dass die Ableitung der Exponentialabbildung
exp p auf einfache Weise durch Jacobifelder beschrieben wird. Da in
die Jacobigleichung der Krümmungstensor eingeht, ergeben sich Beziehungen zwischen
dem Krümmungsverhalten von M und Eigenschaften der Exponentialabbildung.
Als Folgerung erhalten wir den Satz von Hadamard–Cartan über die Struktur
von Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Schnittkrümmung. Danach beweisen wir eine
Minimaleigenschaft von Jacobifeldern, das sogenannte Indexlemma, das im nächsten
Kapitel Verwendung finden wird, und beschließen das Kapitel mit dem Jacobikriterium
für die Minimalität von Geodätischen.
Im Folgenden ist (M, g) eine n–dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit mit
Levi–Civita–Zusammenhang ∇ und Exponentialabbildung exp. Soweit nichts anderes
festgelegt wird, bezeichnet c : [a, b] → M eine Geodätische. Wir verwenden
die abkürzende Schreibweise ∇ t = ∇/dt.
23.1. Jacobifelder als Variationsvektorfelder. Ein differenzierbares Vektorfeld
J längs der Geodätischen c heißt ein Jacobifeld, wenn für alle t ∈ [a, b] die
Jacobigleichung
∇ t ∇ t J + R(J, ċ)ċ = 0. (23.1.1)
erfüllt ist. Dabei ist R der Krümmungstensor von (M, g).
Lemma 1. Sei H ∈ C ∞ ((−ε, ε) × [a, b], M) eine Variation von c, und sei V (t) =
∂H/∂s(0, t) das entsprechende Variationsvektorfeld längs c = c 0 . Sind alle Kurven
c s = H(s, ·) Geodätische, dann ist V ein Jacobifeld.
Beweis. Da alle c s Geodätische sind, ist ∇ t ∂ t H = 0. Mit den Gleichungen (18.1.1)
und (16.3.1) ergibt sich
∇ t ∇ t ∂ s H = ∇ t ∇ s ∂ t H
= ∇ s ∇ t ∂ t H + R(∂ t H, ∂ s H)∂ t H
= R(∂ t H, ∂ s H)∂ t H.
Für s = 0 ist ∂ t H = ċ und ∂ s H = V , und die Behauptung folgt. QED
Lemma 2. Seien J 0 , J ′ 0 ∈ T c(a)M. Dann existiert genau ein Jacobifeld längs c mit
J(a) = J 0 und (∇ t J)(a) = J ′ 0. Insbesondere ist die Menge der Jacobifelder längs c
ein 2n–dimensionaler Vektorraum.
Version 25. Juli 2000
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