DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

wie in Abschnitt 10.5, und es ist B(0 q , ϱ) = {X ∈ T q M | ‖X‖ < ϱ}.
Satz 2. Seien ∇ ein Zusammenhang auf M und g eine Riemannsche Metrik. Zu
jedem Punkt p ∈ M existieren Zahlen ε > 0 und ϱ > 0 mit folgenden Eigenschaften.
(a) Zu je zwei Punkten q, r ∈ B(p, ε) gibt es einen eindeutig bestimmten Tangentialvektor
X ∈ T q M mit ‖X‖ < ϱ und mit exp X = r.
(b) Die durch (q, r) ↦→ X gegebene Abbildung B(p, ε) × B(p, ε) → T M ist differenzierbar.
(c) Für jeden Punkt q ∈ B(p, ε) ist die Einschränkung exp q | B(0q,ϱ) der Exponentialabbildung
eine Einbettung.
Beweis. Man wählt zunächst ϱ und ε ′ > 0 so klein, dass die Menge
W ′ = {X ∈ T M | π(X) ∈ B(p, ε ′ ) und ‖X‖ < ϱ}
durch π × exp diffeomorph auf ihr Bild U ′ ⊆ M abgebildet wird. Dann wählt man
0 < ε < ε ′ so klein, dass B(p, ε) × B(p, ε) ⊆ U ′ ist. Mit diesem ϱ und ε gelten
offenbar (a) und (b), und (c) folgt wie bei Satz 1. QED
Definition. Sei ∇ ein Zusammenhang auf der Riemannschen Mannigfaltigkeit
(M, g), und sei exp die Exponentialabbildung von ∇. Dann heißt für p ∈ M die
Zahl
∣
inj(p) := sup{ ρ | exp ∣B(0p,ρ) p ist definiert und eine Einbettung }
der Injektivitätsradius von exp im Punkt p. Ist speziell ∇ der Levi–Civita–Zusammenhang
von (M, g), dann heißt inj(q) der Injektivitätsradius der Riemannschen
Mannigfaltigkeit (M, g) im Punkt p.
Der Injektivitätsradius inj(p) ist also das Supremum aller Zahlen ρ, für welche die
Einschränkung exp p | B(0p,ρ) Normalkoordinaten mit Zentrum p liefert. Wegen Satz
2(c) hat die Funktion inj : M → R auf jeder kompakten Teilmenge von M eine
positive untere Schranke.
17.8. Kanonischer Zusammenhang und Exponentialabbildung einer Liegruppe.
Eine Liegruppe ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit G, die dergestalt
mit einer Gruppenstruktur versehen ist, dass die Gruppenoperation µ : G × G → G
und die Inversion ι : G → G differenzierbare Abbildungen sind (siehe Aufgabe 3
zu Kapitel 2). Es ist allgemein bei Gruppen üblich, die Gruppenoperation µ nicht
explizit hervorzuheben. Man schreibt also oft a · b oder auch nur ab anstelle von
µ(a, b), wenn hinsichtlich der Gruppenstruktur µ keine Zweifel bestehen.
Für a ∈ G bezeichne L a : G → G die Linksmultiplikation L a (b) = ab. Dann ist L a
ein Diffeomorphismus mit inverser Abbildung (L a ) −1 = L a −1. Ein Vektorfeld X
auf G heißt linksinvariant, wenn für alle a, b ∈ G gilt
(T L a )X(b) = X(ab),
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