DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Man sieht leicht ein, dass die Lieableitung folgende Eigenschaften hat und durch sie
charakterisiert ist:
(1) Die Lieableitung L X bildet die Menge der differenzierbaren (r, s)–Tensorfelder
R–linear in sich selbst ab.
(2) L X erfüllt die Produktregel für das Tensorprodukt:
L X (A ⊗ B) = (L X A) ⊗ B + A ⊗ (L X B) .
(3) L X vertauscht mit Kontraktionen: Für jede Kontraktion C ν µ gilt
L X ◦ C ν µ = Cν µ ◦ L X .
(4) Für (0, 0)–Tensorfelder, also Funktionen, gilt L X f = Xf.
(5) Für (0, 1)–Tensorfelder, also Vektorfelder, gilt L X Y = [X, Y ].
Aus (2) und (3) ergibt sich insbesondere, dass L X auch die Produktregel für Überschiebungen
Cµ(A ν ⊗ B) erfüllt. Wie verwenden diese Eigenschaft, um die Lieableitung
einer differenzierbaren Eins–Form α zu berechnen. Ist Y ein Vektorfeld auf
M, dann ist αY = α(Y ) = C1 1 (α ⊗ Y ) ein (0, 0)–Tensorfeld. Nach (2) und (3) ist
also wegen (4) und (5)
und dadurch ist L X α festgelegt.
L X (αY ) = (L X α)Y + α(L X Y ) ,
(L X α)Y = X(αY ) − α[X, Y ] , (7.9.2)
Aufgaben
1. Flüsse. Bestimmen und skizzieren Sie die Flüsse folgender Vektorfelder in der
Ebene M = R 2 . Dabei sind α und β reelle Zahlen.
X 1 = x ∂
∂x + ∂
y2 ∂y
X 2 = (αx − βy) ∂
∂
+ (βx + αy)
∂x ∂y
2. Vektorfelder. Finden Sie ein vollständiges, nirgends verschwindendes Vektorfeld
auf dem Intervall M = (0, 1) und ein unvollständiges Vektorfeld auf M = R.
3. Gegenbeispiel. Zeigen Sie, dass die Vektorfelder X 1 = y ∂/∂x und X 2 =
x 2 ∂/∂y auf M = R 2 vollständig sind, dass aber ihre Summe X 1 + X 2 und die
Lieklammer [X 1 , X 2 ] unvollständig sind.
4. Vollständigkeit. Sei X ein differenzierbares Vektorfeld auf einer Mannigfaltigkeit
M. Zeigen Sie:
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