DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

9. Kurven im R 3
Dieser Abschnitt gibt eine kurze Einführung in die klassische Theorie der Kurven
im dreidimensionalen euklidischen Raum. Wir zeigen, dass reguläre Kurven immer
nach der Bogenlänge parametrisiert werden können. Anschließend definieren wir das
Frenetsche Dreibein, die Krümmung und die Torsion einer Raumkurve, und leiten
die Frenetschen Formeln her. Dann erinnern wir an den Begriff der eigentlichen
euklidischen Bewegung und zeigen, dass Krümmung und Torsion einer Kurve unter
solchen Bewegungen invariant bleiben. Hauptresultat dieses Abschnittes ist der so
genannte Fundamentalsatz der Kurventheorie im R 3 , der im Wesentlichen besagt,
dass es zu vorgegebener Krümmung und Torsion immer eine passende Kurve gibt,
und dass diese bis auf eigentliche euklidische Bewegungen eindeutig bestimmt ist.
9.1. Bogenlänge. Die Länge einer einmal stetig differenzierbaren Kurve c ∈
C 1 ([a, b], R 3 ) mit Ableitung c ′ = dc/dt ist definiert als
L(c) :=
∫ b
a
‖c ′ (t)‖ dt.
Die Kurve c heißt regulär, wenn für alle t die Ableitung c ′ (t) ≠ 0 ist. Sie heißt
nach der Bogenlänge parametrisiert, wenn sogar ‖c ′ (t)‖ = 1 gilt für alle t ∈ [a, b].
In diesem Fall ist die Länge jedes Teilstückes c| [a,t] gleich dem jeweils verstrichenen
Parameterwert t−a. Das folgende Lemma besagt, dass man reguläre Kurven immer
nach der Bogenlänge umparametrisieren kann, und dass der Bogenlängenparameter
bis auf Verschiebungen eindeutig bestimmt ist.
Lemma. Sei c ∈ C k ([a, b], R 3 ) mit k ≥ 1.
(a) Ist c regulär, dann existiert ein C k –Diffeomorphismus ϕ : [0, L(c)] → [a, b]
dergestalt, dass die Kurve c ◦ ϕ nach der Bogenlänge parametrisiert ist.
(b) Gilt ‖c ′ ‖ = 1 auf [a, b] und ist ϕ : [a 1 , b 1 ] → [a, b] ein C k –Diffeomorphismus mit
ϕ(a 1 ) = a und ‖(c ◦ ϕ) ′ ‖ = 1, dann ist ϕ eine Translation, also ϕ(s) = s + a − a 1
für alle s ∈ [a 1 , b 1 ].
Beweis. (a) Zum Beweis der ersten Aussage definieren wir ψ ∈ C k ([a, b], R) durch
ψ(t) =
∫ t
a
‖c ′ (τ)‖ dτ.
Wegen ψ ′ (t) = ‖c ′ (t)‖ > 0 bildet ψ das Intervall [a, b] streng monoton auf [0, L(c)]
ab. Mit der Umkehrrabbildung ϕ = ψ −1 gilt dann
Version: 18. Februar 2000
||(c ◦ ϕ) ′ (s)|| = ||c ′ (ϕ(s))||
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1
|ψ ′ (ϕ(s))| = 1.