DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

c sei also stetig, und es gebe eine Unterteilung a = t 0 < t 1 < · · · < t m = b des
Intervalls [a, b] in endlich viele Teilintervalle dergestalt, dass die Einschränkungen
c| [ti,t i+1] differenzierbar sind. Sei H : [−ε, ε) × [a, b] → M eine stückweise differenzierbare
Variation von c in folgendem Sinne: H ist eine stetige Abbildung
mit H(0, t) = c(t), und alle Einschränkungen H| (−ε,ε)×[ti,t i+1] sind differenzierbar.
Dann ist das Variationsvektorfeld V (t) = ∂H/∂s(0, t) ein stückweise differenzierbares
Vektorfeld längs c, und es existieren die links– und rechtsseitigen Ableitungen
ċ(t − i ) = lim
t↑t i
ċ(t)
ċ(t + i ) = lim
t↓t i
ċ(t).
Für die Kurven c s (t) = H(s, t) erhält man
L(c s ) =
m−1
∑
i=0
( ∣ )
L c ∣[ti,t s i+1]
.
Summiert man die ersten Variationsformeln für die Teilkurven c ∣ [ti,t i+1]
ergibt sich:
auf, dann
Satz (Erste Variationsformel). Sei c : [a, b] → M stückweise differenzierbar mit
‖ċ‖ = const > 0, und sei H(s, t) = c s (t) eine stückweise differenzierbare Variation
von c. Dann gilt
d
ds ∣ L(c s ) = 1 (
g ( V (b), ċ(b) ) − g ( V (a), ċ(a) )
s=0
‖ċ‖
∑
g ( V (t i ), ċ(t − i ) − ċ(t+ i )) −
m−1
+
i=1
∫ b
a
(
g
V, ∇ċ
dt
) )
dt .
(18.2.1)
Die gegenüber (18.1.2) hinzugekommenen Terme g ( V (t i ), ċ(t − i ) − ċ(t+ i )) haben eine
einfache anschauliche Deutung: Variation in Richtung des “Knicks” ċ(t − i ) − ċ(t+ i )
vergrößert die Bogenlänge.
Lemma. Sei c : [a, b] → M (stückweise) differenzierbar, und sei V ein (stückweise)
differenzierbares Vektorfeld längs c. Dann existiert eine (stückweise) differenzierbare
Variation H : (−ε, ε) × [a, b] → M der Kurve c mit Variationsvektorfeld
∂H/∂s(0, t) = V (t).
Beweis. Wir definieren H(s, t) = exp c(t) sV (t). Für hinreichend klein gewähltes ε >
0 ist (−ε, ε)×[a, b] im Definitionsbereich von H enthalten, da der Definitionsbereich
von exp eine offene Teilmenge von T M ist, welche die Menge {0} × [a, b] enthält.
QED
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