DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

gleichmässig überlagerte Teilmengen. Insbesondere ist also π ein lokaler Diffeomorphismus.
Da M zusammenhängend ist, hängt die Anzahl der Urbilder |π −1 (p)| ∈
N ∪ {∞} eines Punktes p ∈ M nicht von p ab. Sie heißt die Blätterzahl der
Überlagerung.
In ungenauer Sprechweise bezeichnet man oft anstelle der Abbildung π auch den
Raum ¯M als eine Überlagerung von M. Eine zusammenhängende Überlagerung ist
also eine Überlagerung π : ¯M → M, bei der ¯M zusammenhängend ist.
Jede einfach zusammenhängende Überlagerung π : ˜M → M heißt eine universelle
Überlagerung. Ist insbesondere M selbst einfach zusammenhängend, dann ist die
Identität id M : M → M eine universelle Überlagerung. Der folgende Satz, den wir
ohne Beweis angeben, besagt, dass es zu jedem M eine universelle Überlagerung
gibt und dass diese bis auf “fasertreue” Diffeomorphie eindeutig bestimmt ist.
Satz. (a) Zu jeder zusammenhängenden differenzierbaren Mannigfaltigkeit M existiert
eine universelle Überlagerung π : ˜M → M.
(b) Seien π 1 : M 1 → M eine universelle Überlagerung und π 2 : M 2 → M eine Überlagerung
von M. Sind p 1 ∈ M 1 und p 2 ∈ M 2 Punkte mit π 1 (p 1 ) = π 2 (p 2 ), dann
existiert genau eine differenzierbare Abbildung φ : M 1 → M 2 mit π 2 ◦ φ = π 1 und
φ(p 1 ) = p 2 . Ist M 2 zusammenhängend, dann ist diese Abbildung eine Überlagerung.
(c) Seien π 1 : M 1 → M und π 2 : M 2 → M universelle Überlagerungen von M.
Sind p 1 ∈ M 1 und p 2 ∈ M 2 Punkte mit π 1 (p 1 ) = π 2 (p 2 ), dann existiert genau eine
differenzierbare Abbildung φ : M 1 → M 2 mit π 2 ◦ φ = π 1 und φ(p 1 ) = p 2 . Diese
Abbildung ist ein Diffeomorphismus.
Falls M 2 in Teil (b) nicht zusammenhängend ist, dann kann man M 2 durch die p 2
enthaltende Zusammenhangskomponente M 2 ′ ersetzen und (b) auf die Überlagerung
π 2 | M ′
2
: M 2 ′ → M anwenden. — Die Aussage in Teil (c) ist eine einfache Folgerung
aus (b). In der Tat erhält man aus (b) differenzierbare Abbildungen φ : M 1 → M 2
und, nach Vertauschen der Rollen von M 1 und M 2 , auch ψ : M 2 → M 1 . Die Abbildung
ψ ◦ φ : M 1 → M 1 erfüllt dann π 1 ◦ (ψ ◦ φ) = π 1 und bildet p 1 auf sich selbst
ab. Dasselbe gilt für die Identitätsabbildung id M1 , und wegen der Eindeutigkeitsaussage
in (b), diesmal angewandt auf M 1 = M 2 , folgt ψ ◦ φ = id M1 . Ebenso zeigt
man φ ◦ ψ = id M2 . Also ist φ ein Diffeomorphismus mit inverser Abbildung ψ.
Korollar. Seien ¯M und M differenzierbare Mannigfaltigkeiten. ¯M sei zusammenhängend
und M einfach zusammenhängend. Dann ist jede Überlagerung π :
¯M → M ein Diffeomorphismus.
Beweis. Wendet man Teil (b) des Satzes an auf die universelle Überlagerung id :
M → M und die Überlagerung π : ¯M → M, so erhält man eine Überlagerung
φ : M → ¯M mit π ◦ φ = id M . Aus dieser Gleichung folgt zunächst, dass φ injektiv
ist, also ein Diffeomorphismus. Damit ist auch π = φ −1 ein Diffeomorphismus.
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