DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

der Parallelverschiebung in Vektorbündeln, auf die wir abschließend kurz eingehen.
Wir knüpfen dabei an die Bemerkungen in Abschnitt 14.11 an. Sei E, oder genauer
(E, M, π) ein Vektorrraumbündel über M, und sei c : I → M eine differenzierbare
Kurve. Ein Schnitt längs c ist eine Abbildung ξ : I → E mit π ◦ ξ = c. Ist
ein Zusammenhang ∇ auf dem Bündel E gegeben, dann hat man eine kovariante
Ableitung
ξ ↦→ ∇ξ
dt
mit den zu (1),(2) und (3) in Abschnitt 15.1 analogen Eigenschaften. Ein Schnitt
ξ längs c heißt parallel längs c, wenn ∇ξ/dt = 0 ist. Wie in Abschnitt 15.2 erhält
man Parallelverschiebungen P c b,a : E a → E b , die Vektorraumisomorphismen zwischen
den Fasern E a und E b des Bündels sind. Neben den in diesem Kapitel behandelten
Fällen E = T M und allgemeiner E = T s r M tritt in der Riemannschen
Geometrie auch die Parallelverschiebung im Normalenbündel T M ⊥ von Untermannigfaltigkeiten
M ⊆ N Riemannscher Mannigfaltigkeiten auf. Der dabei in T N ⊥
verwendete Zusammenhang ist der in Aufgabe 6 von Kapitel 14 definierte normale
Zusammenhang ∇ ⊥ .
Ist U ⊆ M eine offene Teilmenge, auf der sowohl lokale Koordinaten (mit Basisvektorfelder
∂ i ) als auch Schnitte σ 1 , . . . , σ m ∈ Γ(U, E) des eingeschränkten Bündels
E| U existieren, die in jedem Punkt q ∈ U eine Basis von E q bilden, dann hat man
wie in 14.11 auf U Christoffelsymbole Γ iµ ν mit
∇ ∂i σ µ = Γ iµ ν σ ν .
Wenn das Bild der Kurve c in U enthalten ist, dann ist die kovariante Ableitung
eines Schnittes ξ(t) = ξ µ (t) σ µ (c(t)) in Verallgemeinerung von Gleichung (15.1.1)
gegeben durch
∇ξ
( dξ
µ
)
dt = dt + dci
dt ξν Γ ν iµ ◦c σ ν ◦c, (15.8.1)
und die Parallelverschiebung längs c führt auch hier auf ein lineares System gewöhnlicher
Differentialgleichungen für die Komponenten ξ µ (t).
Aufgaben
1. Geodätische Krümmung. Sei M eine F̷läche im R 3 , versehen mit ihrer ersten
Fundamentalform. Zeigen Sie, dass für die in Abschnitt 12.1 definierte geodätische
Krümmung κ g einer Kurve c : I → M gilt
κ g = ± ∥ ∇ċ
∥
∥.
ds
2. Höhere Ableitungen. Sei ∇ ein Zusammenhang auf M, und sei X ein Vektorfeld
(oder allgemeiner: ein Tensorfeld) auf M mit ∇ k X = 0 für eine natürliche
Zahl k ≥ 1. Zeigen Sie: Wenn M kompakt ist, dann folgt ∇X = 0. Hinweis: Untersuchen
Sie das Verhalten von X längs Kurven c : R → M mit Hilfe der Taylorschen
Formel (15.3.1).
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