DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Ist speziell g die erste Fundamentalform einer Fläche M ⊆ R 3 , dann zeigt Gleichung
(12.7.5) für die Gaußkrümmung K, dass der Riccitensor Ric = Kg ist und scal =
2K.
Lemma. (a) Für die kovariante Ableitung des Riccitensors gilt
R ij, j = 1 2 scal ,i. (20.3.4)
(b) Ist Ric = ϱ g mit einer Funktion ϱ auf M, dann gilt scal = nϱ. Ist außerdem
die Dimension n ≥ 3 und ist M zusammenhängend, dann ist ϱ konstant.
Riemannsche Metriken g, für die Ric = ϱ g gilt mit einer Konstanten ϱ, heißen Einsteinmetriken.
Es ist nicht bekannt, ob auf jeder differenzierbaren Mannigfaltigkeit
der Dimension ≥ 5 solche Metriken existieren.
Beweis. Die zweite Bianchi–Identität 20.1(e) lautet in lokalen Koordinaten
Man erhält
R ijk
m ,l + R jlk
m ,i + R lik
m ,j = 0.
scal ,l = g jk R jk,l
und damit (a). Ist Ric = ϱ g, dann gilt
= g jk R ijk
i
,l
= −g jk (R jlk
i ,i + R lik
i ,j )
= −g jk g im (R jlkm,i + R likm,j )
= g jk g im (R jlmk,i + R ilkm,j )
= g im R lm,i + g jk R lk,j
= 2R lk,
k
scal = g jk R jk = g jk ϱ g jk = nϱ.
Daraus folgt scal ,i = n ϱ ,i . Andererseits impliziert (a)
scal ,i = 2R ij , j = 2g kj R ij,k = 2g kj ϱ ,k g ij
= 2ϱ ,i .
Insgesamt folgt (n − 2)ϱ ,i = 0, und daraus dϱ = 0, falls n ≥ 3 ist. Also ist ϱ
konstant. QED
20.4. Kommentar: Gravitation. Eine Pseudo–Riemannsche Metrik auf einer
Mannigfaltigkeit M ist ein differenzierbares (2, 0)–Tensorfeld g mit der Eigenschaft,
dass für jeden Punkt p ∈ M die Bilinearform g(p) auf T p M symmetrisch, nicht
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