DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

also Ric = κ(n − 1)g. Die Behauptung folgt aus dem Lemma in Abschnitt 20.3.
QED
20.7. Zweite Fundamentalform von Untermannigfaltigkeiten. Sei M ⊆
¯M eine Untermannigfaltigkeit der Riemannschen Mannigfaltigkeit ( ¯M, ḡ), und sei
ι M : M → ¯M die Inklusionsabbildung. Dann ist der Pullback g = ι ∗ M h die auf
M induzierte Riemannsche Metrik. Für die Levi–Civita–Zusammenhänge ∇ und ¯∇
von g und ḡ gilt nach Abschnitt 14.10
∇ X Y = Π ◦ ¯∇ X Y
wobei X und Y Vektorfelder auf M sind und π die faserweise orthogonale Projektion
T ¯M| M → T M bezeichnet. Sei
V ⊥ (M) = { Z ∈ C ∞ (M, T ¯M) | Z(p) ∈ (T p M) ⊥ für alle p ∈ M }
die Menge der differenzierbaren Normalenfelder auf M. Die zweite Fundamentalform
von M in ¯M ist die durch
definierte Abbildung
s(X, Y ) = ( ¯∇ X Y ) ⊥ (20.7.1)
s : V(M) × V(M) → V ⊥ (M).
Dabei bezeichnet X ⊥ = X − Π(X) die zu T M orthogonale Komponente eines
Vektors X. Für Vektorfelder X, Y ∈ V(M) auf M gilt also
¯∇ X Y = ∇ X Y + s(X, Y ). (20.7.2)
Lemma. (a) Die zweite Fundamentalform ist symmetrisch, es gilt also s(X, Y ) =
s(Y, X) für alle X, Y ∈ V(M).
(b) Die Abbildung s ist bilinear über C ∞ (M). Insbesondere hängt für p ∈ M der
Wert s(X, Y )(p) nur von X(p) und Y (p) ab, und man erhält eine symmetrische
bilineare Abbildung
s(p) : T p M × T p M → (T p M) ⊥ .
Beweis. Die Symmetrie von s folgt aus der Torsionsfreiheit von ¯∇ und aus (14.10.2)
wegen
s(X, Y ) − s(Y, X) = ( ¯∇ X Y − ¯∇ Y X) ⊥
= ( ¯T (X, Y ) + [X, Y ]) ⊥
= 0.
Die Bilinearität in (b) ist offensichtlich, und die letzte Aussage ergibt sich mit
Abschnitt 6.7. QED
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