DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

R 3 . Zeigen Sie, dass v 1 , v 2 , v 3 das Frenetsche Dreibein von γ an der Stelle s = 0 ist,
und dass für Krümmung und Torsion von γ gilt κ(0) = κ 0 und τ(0) = τ 0 . Berechnen
Sie κ(s) und τ(s).
4. Böschungslinien. Raumkurven, für die der Quotient τ/κ konstant ist, nennt
man Böschungslinien. Zeigen Sie: Eine nach der Bogenlänge parametrisierte bireguläre
Kurve c ist genau dann eine Böschungslinie, wenn es einen Einheitsvektor
e 0 ∈ R 3 gibt, so dass das Skalarprodukt 〈c ′ (s), e 0 〉 konstant ist.
5. Kurze Kurven. Jede geschlossene stetig differenzierbare (oder rektifizierbare)
Kurve γ in der Einheitssphäre S 2 ⊂ R 3 , deren Länge L(γ) < 2π ist, ist in einer
geeigneten Hemisphäre enthalten.
6. Totalkrümmung geschlossener Raumkurven. Sei c ∈ C 2 ([0, l], R 3 ) eine
nach der Bogenlänge parametrisierte geschlossene Kurve mit Krümmung κ(s) =
||c ′′ (s)||. Sei γ : [0, l] → S 2 , definiert als γ(s) := c ′ (s), ihr sphärisches Tangentenbild.
Zeigen Sie:
(a) Die Kurve γ trifft jeden Großkreis von S 2 .
(b) Es gilt ∫ l
κ(s)ds ≥ 2π.
0
(c) Ist κ ≤ R auf [0, l], dann ist l ≥ 2π/R. Wenig gekrümmte Kurven müssen also
lang sein, um sich schließen zu können.
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