DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

eine auf einer offenen Umgebung W ⊆ R 2 von 0 definierte lokale Parametrisierung
mit ψ(0) = p. Offenbar gilt
ψ(w 1 , w 2 ) = p + w 1 E 1 + w 2 E 2 + η(w 1 , w 2 ) n(p)
mit einer Funktion η ∈ C ∞ (W ). Es folgt
∂ψ
∂w 1 (0) − E 1 = ∂η (0) n(p),
∂w1 und dieser Vektor ist zugleich tangentiell an und senkrecht auf M, also der Nullvektor.
Weiter ist
∂ 2 ψ
∂w i ∂w k =
∂2 η
∂w i ∂w k n(p),
also
h ik (p) =
∂2 η
∂w i ∂w k (0).
Die Taylorentwicklung von η um 0 liefert daher
ψ(w 1 , w 2 ) = p + w i
∂ψ
∂w i (0) + 1 2 h ik(p)w i w k + o(‖w‖ 2 ) (12.8.2)
Folgerung. Ist p ein elliptischer, ein hyperbolischer bzw. ein parabolischer Punkt
der Fläche M, dann wird M in der Umgebung von p bis auf Terme höherer als
zweiter Ordnung approximiert durch ein elliptisches Paraboloid, ein hyperbolisches
Paraboloid bzw. einen parabolischen Zylinder.
Aufgaben
1. Eulerformel. (a) Sei M eine orientierte Fläche im R 3 mit den Hauptkrümmungen
κ 1 und κ 2 . Der Vektor v ∈ T p M bilde mit der zu κ 1 (p) gehörenden Hauptkrümmungsrichtung
den Winkel θ. Zeigen Sie, dass für die Krümmung κ n (θ) des
durch v bestimmten Normalschnittes die Eulerformel
κ n (θ) = κ 1 (p) cos 2 θ + κ 2 (p) sin 2 θ
gilt. Hinweis: Diagonalisierung der zweiten Fundamentalform.
(b) Folgern Sie, dass die mittlere Krümmung der Mittelwert der Normalschnittkrümmungen
ist, also
H = 1 ∫ 2π
κ n (θ) dθ.
2π
0
2. Asymptotenrichtungen. Asymptotenrichtungen einer Fläche M ⊆ R 3 im
Punkt p sind Richtungen RX ⊆ T p M, für die II(X, X) = 0 ist. Kurven in M,
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