DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

(a) Sei v 1 , . . . , v n eine Basis von V und w 1 , . . . , w l eine Basis von W . Zeigen Sie,
dass die Elemente v i ⊗ w µ für i = 1, . . . , n und µ = 1, . . . , l eine Basis von V ⊗ W
bilden.
(b) Sei Hom(V, W ) der Vektorraum der linearen Abbildungen von V nach W , und
sei U ein weiterer endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Beschreiben Sie kanonische
Isomorphismen
Hom(V, W ) ∼ = V ∗ ⊗ W
(V ⊗ W ) ∗ ∼ = V ∗ ⊗ W ∗
V ⊗ (W 1 ⊕ W 2 ) ∼ = (V ⊗ W 1 ) ⊕ (V ⊗ W 2 )
V ⊗ (W ⊗ U) ∼ = (V ⊗ W ) ⊗ U
jeweils mit und ohne Verwendung einer Basis.
2. Schiefsymmetrische Tensoren. Ein (r, 0)–Tensor A auf dem Vektorraum V
heißt schiefsymmetrisch, wenn für jede Permutation π der Menge {1, . . . , r} und
alle v i ∈ V gilt
A(v π(1) , . . . , v π(r) ) = sign(π) A(v 1 , . . . , v r ) .
Dabei bezeichnet sign(π) das Vorzeichen der Permutation π, ist also +1 für gerade
und −1 für ungerade Permutationen. Zeigen Sie:
(a) Ist A ∈ Tr 0 (V ) beliebig, dann ist S(A), definiert durch
S(A)(v 1 , . . . , v r ) := 1 ∑
sign(π)A(v π(1) , . . . , v π(r) ),
r!
π
ein schiefsymmetrischer Tensor. Dabei ist über alle Permutationen π der Menge
{1, . . . , r} zu summieren.
(b) Die Schiefsymmetrisierung S : T 0
r (V ) → T 0
r (V ) ist eine lineare Abbildung mit
S ◦ S = S.
3. Äußeres Produkt. Sei nun Schief r (V ) der Raum der schiefsymmetrischen
(r, 0)–Tensoren. Wir definieren eine bilineare Abbildung
∧ : Schief q (V ) × Schief r (V ) → Schief q+r (V ),
das äußere Produkt oder Dachprodukt schiefsymmetrischer Tensoren, durch
A ∧ B =
(q + r)!
q! r!
S(A ⊗ B)
mit der Schiefsymmetrisierung S aus Aufgabe 2. Zeigen Sie:
(a) Für A ∈ Schief q (V ) und B ∈ Schief r (V ) gilt
A ∧ B = (−1) qr B ∧ A .
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