DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Da nach dem Jacobikriterium (23.5) Geodätische mit einem konjugierten Punkt
keine Kürzesten sind, ergibt sich aus (b) eine abgeschwächte Form des Satzes von
Bonnet–Myers: Ist (M, g) vollständig und zusammenhängend, und ist K ≥ δ mit
einer positiven Konstante δ, dann ist M kompakt mit Durchmesser diam(M, g) ≤
π/ √ κ.
Satz 2. Seien (M, g) und (M ∗ , g ∗ ) Riemannsche Mannigfaltigkeiten derselben Dimension,
p ∈ M, p ∗ ∈ M ∗ . Die Zahl ϱ > 0 sei kleiner als der Injektivitätsradius
inj(p), und die Exponentialabbildung exp p ∗ sei auf dem Ball B p ∗(0, ϱ) definiert und
ein lokaler Diffeomorphismus. Sei A : T p M → T p ∗M ∗ eine lineare Isometrie, und
sei F : B(p, ϱ) → B(p ∗ , ϱ) die Abbildung
F = exp p ∗ ◦A ◦ ( exp p
∣
∣B(0,ϱ)
) −1.
(24.2.4)
Für die Schnittkrümmungen aller zweidimensionalen Unterräume E ≤ T q M mit
q ∈ B(p, ϱ) gelte
K(E) ≤ K ∗ ((T F )(E)).
Dann ist
Insbesondere gilt für die Längen aller in B(p, ϱ) ver-
für alle X ∈ T M| B(p,ϱ) .
laufenden Kurven
‖(T F )X‖ ≤ ‖X‖ (24.2.5)
L(F ◦ c) ≤ L(c).
Beweis. Es genügt, die Behauptung für alle X der Gestalt X = (T Y exp p )w
nachzuweisen, wobei Y ∈ B(0, ϱ) ⊆ T p M ist, und wobei w ∈ T Y T p M zur radialen
Richtung ι Y
Y orthogonal ist. Seien Y ∗ = AY und w ∗ = (T Y A)w ∈ T Y ∗T p ∗M ∗ .
Dann ist (T Y exp p )w = J(1), wobei J das Jacobifeld längs c(t) = exp p (tY ) ist mit
J(0) = 0 und ∇ t J(0) = τ −1
Y
(w). Ebenso ist (T Y ∗ exp p ∗)w∗ = J ∗ (1), wobei J ∗ das
Jacobifeld längs c ∗ (t) = exp p ∗(tY ∗ ) ist mit J ∗ (0) = 0 und ∇ t J ∗ (0) = τ −1
Y ∗ (w∗ ). Da
exp p ∗ auf dem Ball B p ∗(0, ϱ) ein lokaler Diffeomorphismus ist, hat die Geodätische
c ∗ auf [0, 1] keine zu c(0) konjugierten Punkte. Außerdem ist J ⊥ ċ und J ∗ ⊥ ċ ∗ ,
da diese Vektorfelder an 0 verschwinden und w und w ∗ orthogonal zur radialen
Richtung sind. Wegen
‖∇ t J)(0)‖ = ‖w‖ = ‖w ∗ ‖ = ‖(∇ t J ∗ )(0)‖
ist der Rauchsche Vergleichssatz anwendbar und liefert ‖J(1)‖ ≥ ‖J ∗ (1)‖, also
∥ (TY exp p )w ∥ ∥ ≥
∥ ∥(TY
∗ exp p ) ◦ (T Y A)w ∥ ∥ .
Mit X = (T Y exp p )w folgt daraus
‖X‖ ≥ ∥ ∥ (TY ∗ exp p ) ◦ (T Y A) ◦ (T Y exp p ) −1 X ∥ ∥
= ‖(T F )X‖ ,
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