DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Einbettungssatz von Whitney. Jede n–dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit
lässt sich differenzierbar dergestalt in den R 2n+1 einbetten, dass das Bild
eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von R 2n+1 ist.
Man konstruiert zu diesem Zweck zunächst eine eigentliche injektive Immersion
(siehe Aufgabe 4(a) zum vierten Kapitel) in einen hochdimensionalen R k und projiziert
dann auf einen geeigneten 2n + 1–dimensionalen Untervektorraum. Dieser
muss so gewählt werden, dass die Einbettungseigenschaft und insbesondere die Injektivität
bei der Projektion nicht verlorengeht—und das liefert 2n+1 als geeignete
Dimension. Zu diesem Thema findet man Weiteres etwa in der “Einführung in die
Differentialtopologie” von Bröcker und Jänich, und in der Originalarbeit H. Whitney,
Differentiable manifolds, Ann. Math. 37(1936), 1–36.
Der Whitneysche Satz könnte zunächst dazu verleiten, den abstrakten Begriff der
differenzierbaren Mannigfaltigkeit für überflüssig zu halten: Es gibt keine Beispiele,
die nicht ohnehin diffeomorph zu einer abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit eines
R k wären. Dazu ist zu bemerken, dass viele konkrete Beispiele differenzierbarer
Mannigfaltigkeiten—etwa Quotientenräume—keine in irgendeiner Form natürliche
Einbettung in einen R k besitzen. Die Wahl einer Einbettung ist dann die Wahl
einer zusätzlichen Struktur, die einer gewissen Willkür unterliegt und nicht durch
die inneren Eigenschaften von M vorgegeben ist.
8.8. Satz. (Approximation) Sei f : M → R eine stetige Funktion auf der differenzierbaren
Mannigfaltigkeit (M, A). Dann gibt es zu jeder Zahl ε > 0 eine
differenzierbare Funktion ˜f ∈ C ∞ (M) mit |f(p) − ˜f(p)| < ε für alle p ∈ M.
Beweis. Mit Hilfe des Weierstraßschen Approximationssatzes oder anderer Methoden
zeigt man zunächst, dass es zu jeder stetigen reellwertigen Funktion h auf dem
abgeschlossenen Einheitsball ¯B(0, 1) ⊆ R n eine Funktion ˜h ∈ C ∞ (R n ) gibt mit
|h(x) − ˜h(x)| < ε für alle x ∈ ¯B(0, 1). Dieses Resultat übertragen wir mit Hilfe
einer Partition der Eins auf M.
Sei dazu { (ϕ α , U α ) | α ∈ Λ } ⊆ A ein Atlas mit ϕ α (U α ) = B(0, 2) und mit der
Eigenschaft, dass die Mengen V α := ϕ −1
α (B(0, 1)) eine Überdeckung von M bilden.
Sei {ϱ α } eine der Überdeckung {V α} untergeordnete Zerlegung der Eins. Die Funktionen
f ◦ ϕ −1
α sind stetig auf ¯B(0, 1). Wir wählen Funktionen hα ∈ C ∞ (R n ) so,
dass auf ¯B(0, 1) gilt
|f ◦ ϕ −1
α − h α | < ε .
Für die Funktionen ˜f α := h α ◦ ϕ α ist dann |f − ˜f α | < ε auf V α . Wir definieren
˜f = ∑ α∈Λ
ϱ α ˜fα .
Dann gilt in jedem Punkt von M
|f − ˜f| = ∣ ∑ ϱ α f − ∑ ∣ ∣∣
∑
ϱ α ˜fα ≤ ϱ α |f − ˜f α | < ε .
α∈Λ α∈Λ
α∈Λ
QED
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