DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Insgesamt haben wir damit:
Satz. Die Abbildung, die jedem vollständigen Vektorfeld seinen Fluss zuordnet, ist
eine Bijektion zwischen der Menge aller vollständigen Vektorfelder auf M und der
Menge aller Einparametergruppen von Diffeomorphismen von M.
7.7. Flüsse und Lieklammern. In diesem Abschnitt geben wir eine Deutung der
Lieklammer zweier Vektorfelder mit Hilfe von Flüssen. Sei X ein differenzierbares
Vektorfeld auf M, und sei φ : U → M mit U ⊆ R × M der Fluss von X.
Lemma 1. Sei f ∈ C ∞ (M) und sei V ⊆ M offen mit [0, t 0 ] × V ⊆ U, so dass
für 0 ≤ t ≤ t 0 die Abbildung φ t = φ(t, ·) auf V definiert ist. Dann existiert eine
Funktion g ∈ C ∞ ([0, t 0 ] × V ) mit g 0 = (Xf)| V und mit
auf V für 0 ≤ t ≤ t 0 .
f ◦ φ t = f + t g t
Beweis. Unter Verwendung von Gleichung (7.5.4) ist
f(φ t (p)) − f(p) =
=
= t
∫ 1
0
∫ 1
0
∫ 1
0
d
ds f(φ st(p)) ds
t d
dσ ∣ f(φ σ (p)) ds
σ=st
(Xf)(φ st (p)) ds .
Wir definieren
g(t, p) =
∫ 1
0
(Xf)(φ st (p)) ds .
QED
Lemma 2. Sei Y ∈ V(M) ein weiteres Vektorfeld. Dann gilt für alle p ∈ M
[X, Y ](p) = lim
t→0
(T φ −t )Y φt(p) − Y p
t
Y p − (T φ t )Y φ−t(p)
= lim
.
t→0 t
(7.7.1)
Beweis. Die Gleichheit der beiden Grenzwerte sieht man ein, indem man t durch
−t ersetzt. Sei nun f ∈ C ∞ (M). Wie in Lemma 1 schreiben wir f ◦ φ t = f + t g t
mit g 0 = Xf. Damit ist
((T φ t )Y φ−t(p))f = Y φ−t(p)(f ◦ φ t )
= Y φ−t(p)f + t Y φ−t(p)g t ,
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