DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

und damit Pb,a c eine lineare Isometrie. Wir beweisen schließlich die Implikation
(c)⇒(b). Sei E 1 , . . . , E n paralleles Basisfeld entlang c mit der Eigenschaft, daß
die Vektoren E 1 (a), . . . , E n (a) orthonormal sind. Nach Voraussetzung sind dann
E 1 (t), . . . , E n (t) orthonormal für jeden Wert t ∈ [a, b]. Mit X = X i E i und Y =
Y j E j folgt
d
dt g(X, Y ) = d ( ∑
n X i Y i)
dt
i=1
n∑ dX i
= Y i + X i dY i
dt
dt
i=1
( dX
i )
= g
dt E i, Y j E j + g
(X i E i , dY j )
E j
dt
( ∇X
) (
= g
dt , Y + g X, ∇Y )
. QED
dt
15.6. Die Geodätischen eines Zusammenhanges. Sei ∇ ein Zusammenhang
auf M. Eine differenzierbare Kurve c : I → M heißt eine Geodätische von ∇, wenn
das Vektorfeld ċ parallel (längs c) ist, wenn also gilt
∇ċ
dt = 0.
Die Ableitung ∇ċ/dt heißt die kovariante Beschleunigung von c. Die Geodätischen
des Levi–Civita–Zusammenhanges einer Riemannschen Mannigfaltigkeit bezeichnet
man kurz als die Geodätischen der Riemannschen Mannigfaltigkeit. Setzt man in
Gleichung (15.5.1) speziell X = Y = ċ, dann ergibt sich:
Lemma. Ist (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, und ist ∇ ein Zusammenhang
auf M mit ∇g = 0, dann sind die Geodätischen c von ∇ proportional zur
Bogenlänge parametrisiert, d.h. es gilt ‖ċ‖ = const.
Beispiel. Sei ∇ X Y = Π ◦ ∇ X Y (siehe Abschnitt 14.10) der Levi–Civita–Zusammenhang
einer Untermannigfaltigkeit M n ⊆ R n+k bezüglich der auf M induzierten
Riemannschen Metrik, der ersten Fundamentalform. Seien weiter ∂/∂x j die Standardbasisfelder
von R n+k . Für Vektorfelder
n+k
∑
X(t) = X j (t)
längs einer Kurve c : I → M ist dann
j=1
∂
∂x j ∣
∣∣∣c(t)
∇X
( ∇X
) ( n+k
dt (t) = Π dt (t) ∑ dX j
= Π
dt (t)
j=1
152
∣
∂ ∣∣∣c(t) )
∂x j .