DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

mit c(0) = c(1) = p und O c(1) = O
c(0) ′ . Die erste Aussage ergibt sich leicht aus dieser
Feststellung. Da nach dem Korollar in 22.1 einfach zusammenhängende Mannigfaltigkeiten
keine zweiblättrigen zusammenhängenden Überlagerungsräume haben,
folgt die zweite Aussage aus der ersten. QED
Satz von Synge. Sei (M n , g) eine kompakte zusammenhängende Riemannsche
Mannigfaltigkeit mit positiver Schnittkrümmung K > 0.
(a) Ist n gerade und M orientierbar, dann ist M einfach zusammenhängend.
(b) Ist n gerade und M nicht orientierbar, dann ist die Fundamentalgruppe von M
isomorph zu Z/2Z.
(c) Ist n ungerade, dann ist M orientierbar.
Beweis. (a) Wir zeigen, dass die Fundamentalgruppe von M trivial ist. Sei π : ˜M →
M eine Riemannsche universelle Überlagerung. Nach 22.4 genügt es, zu zeigen, dass
ihre Deckgruppe Deck trivial ist.
Da M kompakt ist, gibt es eine positive Zahl κ mit K > κ. Dieselbe Ungleichung
gilt für den Überlagerungsraum ( ˜M, π ∗ g). Nach dem Satz von Bonnet–Myers ist
daher ˜M kompakt und erfüllt die Voraussetzungen des Fixpunktsatzes 22.8 von
Weinstein. Die Mannigfaltigkeit M ist diffeomorph zum Quotienten Deck\ ˜M, und
da M orientierbar ist, ist jede Decktransformation γ ein orientierungserhaltender
Diffeomorphismus von ˜M (vergleiche Aufgabe 6 von Kapitel 11). Der Fixpunktsatz
von Weinstein impliziert nun, dass γ einen Fixpunkt hat. Da andererseits Deck frei
und eigentlich diskontinuierlich auf ˜M operiert, hat kein Element γ ≠ id Fixpunkte.
Also besteht Deck nur aus der Identität.
(b) Die Anwendung von (a) auf die Orientierungsüberlagerung π : ¯M → M (mit der
Metrik π ∗ g) ergibt, dass ¯M einfach zusammenhängend ist. Folglich ist π : ¯M → M
eine universelle Überlagerung mit Blätterzahl 2, und damit |π 1(M)| = |Deck| = 2.
(c) Die zweifache orientierte Überlagerung ¯M ist eine kompakte orientierte Mannigfaltigkeit
positiver Schnittkrümmung, die einen orientierungsumkehrenden Diffeomorphismus
flip : ¯M → ¯M ohne Fixpunkte zuläßt. Nach dem Fixpunktsatz von
Weinstein ist ¯M unzusammenhängend. Folglich ist M orientierbar. QED
Aufgaben
1. Fundamentalgruppen. Zeigen Sie, dass zueinander homöomorphe zusammenhängende
topologische Räume isomorphe Fundamentalgruppen haben. Hinweis:
Jede stetige Abbildung ϕ : M → N induziert einen Gruppenhomomorphismus
ϕ # : π 1 (M, p) → π 1 (N, ϕ(p)).
2. Produkte. Beweisen Sie mit Hilfe des Satzes in 23.3 folgende Beziehung für
die Fundamentalgruppe eines kartesischen Produktes:
π 1 (M × N) ∼ = π 1 (M) × π 1 (N)
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