DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

(c) Ist M eine Regelfläche, dann ist die Gaußkrümmung K ≤ 0, und die Geraden
w 1 = const. sind Asymptotenlinien.
(d) Eine Regelfläche ist genau dann abwickelbar, wenn K = 0 ist.
7. Joachimsthal. (a) Eine differenzierbare Kurve c auf einer orientierten Fläche
M ist eine Krümmungslinie genau dann, wenn
ist mit einer stetigen Funktion λ.
d
dt n(c(t)) = λ(t) c′ (t)
(b) Die Schnittkurve c der orientierten Flächen M 1 und M 2 sei eine Krümmungslinie
von M 1 . Dann gilt: c ist eine Krümmungslinie von M 2 genau dann, wenn der
Winkel zwischen den Normalen von M 1 und M 2 entlang c konstant ist (“Satz von
Joachimsthal”).
8. Parallelflächen. Sei M = ψ(W ), W ⊆ R 2 eine parametrisierte Fläche im R 3 .
Eine Parallelfläche zu M ist eine (immersierte) Fläche der Gestalt M a = ψ a (W ),
wobei
ψ a (w) = ψ(w) + a n(ψ(w))
mit einem Einheitsnormalenfeld n und einer Konstanten a. Zeigen Sie:
(a) Mit der Gaußkrümmung K und der mittleren Krümmung H von M gilt
∂ 1 ψ a × ∂ 2 ψ a = (1 − 2Ha + Ka 2 ) ∂ 1 ψ × ∂ 2 ψ.
(b) Die Gaußkrümmung und die mittlere Krümmung von M a sind gegeben durch
K
1 − 2Ha + Ka 2 und
H − Ka
1 − 2Ha + Ka 2 .
(c) Abgesehen von Ausnahmefällen gibt es zu jeder Fläche konstanter mittlerer
Krümmung eine (immersierte) Parallelfläche konstanter Gaußscher Krümmung und
umgekehrt.
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