DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Satz. Sei B p (0, ϱ) ⊆ T p M im Definitionsbereich ˜T M der Exponentialabbildung
exp p enthalten. Dann existiert zu jedem Punkt q ∈ B(p, ϱ) eine nach der Bogenlänge
parametrisierte Kürzeste c : [0, l] → M, c(t) = exp p (tX) mit c(l) = q. Insbesondere
ist
exp B p (0, ϱ) = B(p, ϱ). (19.1.1)
Beweis. Sei q ∈ B(p, ϱ), und sei l := d(p, q) der Abstand von p und q. Wir wählen
eine Zahl ε mit 0 < ε < min{inj(p), l}. Da die Abstandssphäre (vergleiche Kapitel
18, Aufgabe 2)
S(p, ε) = exp S p (0, ε) = {r ∈ M | d(r, p) = ε}
kompakt ist, existiert ein Punkt p 1 ∈ S(p, ε) mit minimalem Abstand zu q, also
d(p 1 , q) = min{d(x, q) | x ∈ S(p, ε)}.
Sei X ∈ T p M der Einheitsvektor mit exp(εX) = p 1 , und sei c : [0, l] → M die Geodätische
c(t) = exp p (tX). Dann ist c nach der Bogenlänge parametrisiert. Wir
werden zeigen, dass c(l) = q ist. Wegen L(c) = l = d(p, q) ist dann c eine Kürzeste
von p nach q.
Um c(l) = q zu zeigen, betrachten wir die Menge A ⊆ [0, l] derjenigen t, für die gilt
d(c(t), q) = l − t.
(∗)
Diese Menge ist offenbar abgeschlossen. Sie enthält ε, denn da jede Verbindungskurve
von p nach q die Abstandssphäre S(p, ε) schneiden muss, gilt
l = d(p, q)
= ε + min d(x, q)
x∈S(p,ε)
= ε + d(p 1 , q)
= ε + d(c(ε), q).
Sei t 0 das Maximum von A. Dann ist jedenfalls t 0 ≥ ε. Wir zeigen t 0 = l. Daraus
folgt dann d(c(l), q) = 0, wie behauptet.
Wir nehmen dazu an, t 0 sei kleiner als l. Sei p 2 = c(t 0 ). Dann ist p 2 ≠ q. Wir
wählen eine Zahl δ mit 0 < δ < min{inj(p 2 ), d(p 2 , q)}, und einen Punkt p 3 ∈ S(p 2 , δ)
mit
d(p 3 , q) = min{d(x, q) | x ∈ S(p 2 , δ)}.
Wie vorher folgt d(p 2 , q) = δ + d(p 3 , q). Wegen t 0 ∈ A gilt d(p 2 , q) = l − t 0 , und
daher
d(p 3 , q) = l − t 0 − δ.
(∗∗)
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