DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Beispiele zeigen, dass in der Formulierung das Wort “homöomorph” nicht durch
“diffeomorph” ersetzt werden kann.
23.4. Indexform und Indexlemma. Sei V ⊥ c der Raum der stückweise differenzierbaren
Vektorfelder V längs der Geodätischen c mit 〈V (t), ċ(t)〉 = 0 für alle
t ∈ [a, b]. Die Indexform von c ist die durch
I(V, W ) = 1
‖ċ‖
∫ b
a
(
〈∇t V, ∇ t W 〉 − 〈R(V, ċ)ċ, W 〉 ) dt (23.4.1)
definierte symmetrische Bilinearform I : V ⊥ c × V ⊥ c → R. Nach der zweiten Variationsformel
gilt für Variationsvektorfelder V von Variationen mit festen Endpunkten
Für Jacobifelder J ist
∫ b
I(V ⊥ , V ⊥ ) = d2
ds 2 ∣ ∣∣∣0
L(c s ). (23.4.2)
I(J, J) = 1 (
∂t 〈∇ t J, J 〉 − 〈∇ t ∇ t J + R(J, ċ)ċ, J 〉 ) dt
‖ċ‖ a
= 1
(23.4.3)
‖ċ‖ 〈∇ tJ, J 〉 ∣ b . a
Lemma. Ist c(t) nicht konjugiert zu c(a) längs c, dann ist die Randwertabbildung
J ↦→ (J(a), J(t)) ein Isomorphismus des Vektorraums der Jacobifelder längs c auf
den Raum T c(a) M × T c(t) M.
Beweis. Es handelt sich um eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen derselben
Dimension 2n, deren Kern der Nullraum ist. QED
Satz (Indexlemma). Die Geodätische c enthalte keine zu c(a) längs c konjugierten
Punkte. Sei V ∈ Vc
⊥ ein Vektorfeld mit V (a) = 0, und sei J das Jacobifeld längs c
mit denselben Randwerten J(a) = 0 und J(b) = V (b). Dann ist I(J, J) ≤ I(V, V ),
und Gleichheit impliziert V = J.
Bei gegebenen Randwerten V (a) = 0 und V (b) minimieren also Jacobifelder die Indexform.
Für den Beweis treffen wir zunächst einige Vorbereitungen. Sei Y 1 , . . . , Y n
eine Basis von T c(b) M, und sei J i das Jacobifeld längs c mit Randwerten J i (a) = 0
und J i (b) = Y i .
(a) Für jeden Wert t ∈ (a, b] bilden die Vektoren J 1 (t), . . . , J n (t) eine Basis von
T c(t) M.
Ist nämlich für einen Wert t 0 ∈ (a, b] eine Linearkombination a i J i (t 0 ) = 0, dann ist
˜J(t) := a i J i (t) ein Jacobifeld, das an den Stellen a und t 0 verschwindet. Da c keine
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