DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Dieses Transformationsverhalten zeigt insbesondere, dass die Γ ij k nicht die Komponenten
eines Tensorfeldes auf M sind: Zwar ist Γ ij k dx i ⊗dx j ⊗∂/∂x k ein auf dem
Kartenbereich U wohldefiniertes Tensorfeld. Diese Tensorfeld stimmt aber auf U ∩Ũ
nicht mit ˜Γ ij k d˜x i ⊗d˜x j ⊗∂/∂˜x k überein. Man verifiziert hingegen leicht das Folgende:
Sind zu jeder Karte (ϕ, U) eines Atlas Funktionen Γ ij k ∈ C ∞ (U) vorgegeben, und
gilt für je zwei Karten die Transformationsregel (14.4.1), dann existiert genau ein
Zusammenhang ∇ auf M, dessen Christoffelsymbole die gegebenen Γ ij k sind.
14.5. Beispiel. Sei M ⊆ R n+k eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit und sei
Π : (T R n+k ) ∣ ∣
M
→ T M die orthogonale Projektion. Dann definiert
∇ X Y = Π ◦ ∇ X Y (14.5.1)
für X, Y ∈ V(M) einen Zusammenhang auf M. Dabei ist die rechte Seite wegen
der Eigenschaften aus Abschnitt 14.3 wohldefiniert: (∇ X Y )(p) = ∇ X(p) Y hängt
nur ab von der Einschränkung von Y auf das Bild einer differenzierbaren Kurve
c : [0, ε) → R n+k mit ċ(0) = X(p). Wenn nun speziell X(p) ∈ T p M ⊆ T p R n+k
ist, dann kann man für c eine in M verlaufende Kurve wählen. Da nach Abschnitt
8.7 jede differenzierbare Mannigfaltigkeit in einen R n+k differenzierbar eingebettet
werden kann, erhalten wir als
Folgerung. Auf jeder differenzierbaren Mannigfaltigkeit existiert ein Zusammenhang.
Eine Beschreibung der Menge aller Zusammenhänge auf M gibt Aufgabe 1. Sei nun
speziell n = 2 und k = 1, also M eine Fläche im R 3 . Sei ψ : W → ψ(W ) = U ⊆ M
eine lokale Parametrisierung, x = ψ(w). Nach Abschnitt 10.2 gilt für die Basisfelder
∂/∂w 1 , ∂/∂w 2 der Karte (ψ −1 , U) und die Standardbasisfelder ∂/∂x i des R 3
∂
∂w j ∣ ∣∣∣p
= ∂ψk
∂w j (ϕ−1 (p))
∣
∂ ∣∣∣p ( ∂
∂x k =
∂w j (ψk )
Mit der Ableitungsgleichung (11.8.1) von Gauß folgt
∇ ∂
∂w i
∂
∂w j = Π ◦ ∇ ∂
∂w i
= Π ◦
∂
∂w j
( ∂
∂w i ( ∂
∂w j ψk) ∂
∂x k )
= Π ◦ (Γ ij
k ∂
∂w k + h ij n)
= Γ ij
k ∂
∂w k
∂
)
∂x k (p).
wobei die auftretenden Γ ij k die in (11.8.1) definierten sind. Der Vergleich mit
der definierenden Gleichung (14.4.1) zeigt: Die Christoffelsymbole des Zusammenhanges
∇ stimmen mit den in der Flächentheorie definierten Größen Γ ij k überein.
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