DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

gleicher Dimension durch dim(M) ≤ dim(M ∗ ) ersetzt werden kann. Es gibt eine
Reihe von Verallgemeinerungen dieses Satzes, die alle als Rauchsche Vergleichssätze
bezeichnet werden. Die Idee ist jedenfalls, aus der Jacobigleichung (23.1.1) und
Annahmen über den Krümmungstensor R Abschätzungen für J (in Abhängigkeit
von Anfangs- oder Randwerten) zu gewinnen, und damit über das Verhalten der
Geodätischen auf M.
Beweis. Man kann annehmen, dass J ∗ ≠ 0 ist, da andernfalls nichts zu beweisen
ist. Dann gilt J ∗ (t) ≠ 0 für alle t ∈ (a, b], da c ∗ keine zu c ∗ (a) konjugierten Punkte
hat. Sei t 0 ∈ (a, b]. Es existiert eine lineare Isometrie A : T c(a)M → T c ∗ (a)M ∗ mit
A ċ(a) = ċ ∗ (a) und
(
A Pa,t c ‖J(t0 )‖
)
0
J(t 0 ) = Pa,t c∗
0
‖J ∗ (t 0 )‖ J ∗ (t 0 ) .
Wir definieren ein Vektorfeld Y längs c ∗ durch
Dann gilt
Y (t) = (P c∗
t,a ◦ A ◦ P c a,t)J(t).
(∇ t Y )(t) = (P c∗
t,a ◦ A ◦ P c a,t)(∇ t J)(t).
Nach Wahl von A hat Y an der Stelle t = t 0 denselben Wert wie das Jacobifeld
˜J(t) = ‖J(t 0)‖
‖J ∗ (t 0 )‖ J ∗ (t).
Da außerdem Y (a) = 0 = ˜J(a) ist, läßt sich auf Y und ˜J das Indexlemma aus
Abschnitt 23.4 (für die Kurve c ∗ | [a,t0]) anwenden. In der folgenden Rechnung verwenden
wir die Gleichung (23.4.3) für I(J, J), die Eigenschaften ‖∇ t Y ‖ = ‖∇ t J‖
und ‖Y ‖ = ‖J‖, die Krümmungsvoraussetzung und das Indexlemma. Mit I bezeichnen
wir sowohl die Indexform der Kurve c| [a,t0] als auch diejenige von c ∗ | [a,t0].
1
2
d
dt∣ ‖J‖ 2 ∣
= 〈J, ∇ t J〉
t0
= I(J, J)
= 1
‖ċ‖
≥ 1
‖ċ ∗ ‖
∫ t0
∣ t0
a
a
∫ t0
a
(
〈∇t J, ∇ t J〉 − 〈R(J, ċ)ċ, J〉 ) dt
(
〈∇t Y, ∇ t Y 〉 − 〈R ∗ (Y, ċ ∗ )ċ ∗ , Y 〉 ) dt
= I(Y, Y )
≥ I( ˜J, ˜J)
( ‖J(t0 )‖
) 2I(J
=
∗ ‖J ∗ , J ∗ )
(t 0 )‖
( ‖J(t0 2 1 d
=
‖J ∗ (t 0 )‖)
2 dt∣ ‖J ∗ ‖ 2 . (24.1.1)
t0
246