DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Lemma. Sei π : ¯M → M eine Riemannsche Überlagerung. Dann gilt:
dann vollständig, wenn M vollständig ist.
¯M ist genau
Beweis. Ist ¯M vollständig, dann auch M, weil π als lokale Isometrie Geodätische
in Geodätische abbildet. Sei nun umgekehrt M vollständig, und sei ¯c : [0, ε) → ¯M
eine Geodätische. Wir zeigen, dass sich ¯c für jede Zahl a > 0 zu einer auf [0, a]
definierten Geodätischen fortsetzen lässt. Die Kurve π ◦ ¯c =: c eine Geodätische in
M, also auf ganz R definiert. Indem man das Kompaktum c([0, a]) durch endlich
viele zulässige Mengen überdeckt, findet man durch sukzessives “Liften” von c eine
Kurve ˜c : [0, a] → ¯M mit π ◦ ˜c = c| [0,a] und ˜c| [0,ε) = ¯c. Da c eine Geodätische ist
und π eine lokale Isometrie, ist auch ˜c eine Geodätische. QED
Kommentar über Raumformen. Vollständige zusammenhängende Riemannsche
Mannigfaltigkeiten konstanter (Schnitt-)Krümmung werden traditionell als
Raumformen bezeichnet. Die Ergebnisse diese Abschnittes sind Ansatzpunkt für
eine “Klassifikation” der Raumformen.
Ist (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Schnittkrümmung K, dann hat
für positives λ ∈ R die Metrik λg Schnittkrümmung K/λ, da g und λg offenbar
denselben Levi–Civita–Zusammenhang haben. Es reicht daher aus, Räume
der konstanten Krümmung K = 1, K = 0 oder K = −1 zu untersuchen. Wir bemerken
weiter, dass Riemannsche Überlagerungsräume von Räumen konstanter
Krümung dieselbe konstante Krümmung haben, da Riemannsche Überlagerungen
lokale Isometrien sind.
Man kann zeigen dass alle einfach zusammenhängenden Raumformen isometrisch
zur Standardsphäre, zum euklidischen Raum oder zum hyperbolischen Raum (Kapitel
20, Aufgabe 4) sind, je nachdem, ob die Krümmung K = 1, K = 0 oder K = −1
ist. Alle anderen Raumformen erhält man dann als Quotienten dieser drei Standardräume
nach frei und eigentlich diskontinuierlich operierenden Untergruppen Γ ihrer
Isometriegruppe. Die entsprechenden Quotientenräume nennt man sphärische, euklidische
und hyperbolische Raumformen. Einzelheiten zu diesem Thema findet man
in J. A. Wolf’s Buch “Spaces of constant curvature”.
22.6. Eine einfache Anwendung.
Satz. Sei (M n , g) eine kompakte und zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit
mit positiver Riccikrümmung Ric > 0. Dann ist die Fundamentalgruppe
von M endlich.
Beweis. Da M kompakt ist, existiert eine Zahl κ > 0 mit Ric ≥ (n−1)κg. Sei
π : ˜M → M eine universelle Überlagerung und sei ˜g = π ∗ g. Dann erfüllt ( ˜M, ˜g) die
Voraussetzungen des Satzes von Bonnet–Myers. Das Lemma in 22.5 sichert dabei
die Vollständigkeit von ˜g, und die Krümmungsschranke von (M, g) übertragt sich
auf ( ˜M, ˜g), weil π eine lokale Isometrie ist. Nach dem Satz von Bonnet–Myers ist
˜M kompakt, und die Folgerung aus 22.4 liefert die Behauptung. QED
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