DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

(b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Rotationstorus aus Abschnitt 2.5.
2. Killingfelder. Ein Vektorfeld X ∈ V(M) auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit
(M, g) heißt ein Killingfeld (oder eine “infinitesimale Isometrie”), wenn sein
Fluss φ t aus Isometrien besteht, wenn also gilt L X g = 0 (siehe 7.9). Zeigen Sie,
dass die Menge aller Killingfelder auf M eine Unterliealgebra der Liealgebra V(M)
bildet, also einen Untervektorraum, der bezüglich der Lieklammer abgeschlossen ist.
3. Volumen. Zeigen Sie, dass isometrische Riemannsche Mannigfaltigkeiten dasselbe
Volumen haben.
4. Beispiel. Geben Sie ein Beispiel einer Riemannschen Mannigfaltigkeit, die zur
Einheitssphäre S 2 ⊆ R 3 lokal isometrisch, aber nicht zu einer Teilmenge von S 2
isometrisch ist.
5. Invariante Metriken auf Liegruppen. Eine Riemannsche Metrik g auf
einer Liegruppe G (siehe Aufgabe 3 zu Kapitel 2) heißt linksinvariant, wenn alle
Linkstranslationen L a : G → G, L a (b) = ab für a, b ∈ G Isometrien sind. Sie
heisst rechtsinvariant, wenn alle Rechtstranslationen R a (b) = ba Isometrien sind,
und biinvariant, wenn sie zugleich links- und rechtsinvariant ist.
(a) Zeigen Sie, dass es zu jedem Skalarprodukt 〈·, ·〉 auf dem Tangentialraum T e G
im neutralen Element e genau eine linksinvariante Riemannsche Metrik g auf G gibt
mit g(e) = 〈·, ·〉.
(b) Die orthogonale Gruppe O(n) ist eine Untermannigfaltigkeit des R n×n . Zeigen
Sie, dass ihre erste Fundamentalform biinvariant ist.
(c) Die Liegruppe GL(n, R) der invertierbaren reellen n × n–Matrizen ist eine offene
Teilmenge des R n×n . Daher kann die linksinvariante Riemannsche Metrik auf
GL(n, R), die nach Teil (a) dem Standardskalarprodukt auf T e GL(n, R) ∼ = R n×n
entspricht, in den Standardkoordinaten x ij des R n×n geschrieben werden als
g =
n∑
i,j,k,l=1
g ij,kl dx ij ⊗ dx kl .
Bestimmen Sie die Komponentenfunktionen g ij,kl .
6. Hyperbolische Ebene. Sei M = {(x, y) ∈ R 2 | y > 0} mit der Riemannschen
Metrik g = (dx ⊗ dx + dy ⊗ dy)/y 2 . Die Gruppe SL(2, R) operiert auf M vermöge
φ A (z) = az + b
cz + d
( )
a b
wobei A = ∈ SL(2, R) und z = x + iy ∈ C
c d
∼ = R 2 . Zeigen Sie:
(a) Die Operation ist isometrisch, d.h. jedes φ A ist eine Isometrie.
(b) Die Operation ist transitiv auf dem Einheitstangentialbündel von M, d.h. für
alle X, Y ∈ T M mit ‖X‖ = ‖Y ‖ = 1 existiert ein A ∈ SL(2, R) mit (T φ A )(X) = Y .
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