DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

10. Innere Geometrie der Flächen im R 3
Eine Fläche im R 3 ist eine zweidimensionale differenzierbare Untermannigfaltigkeit
M von R 3 . Das Standardskalarprodukt des R 3 induziert auf M eine Riemannsche
Metrik, die erste Fundamentalform von M. Als Riemannsche oder “innere” Geometrie
der Fläche bezeichnet man die Gesamtheit derjenigen geometrischen Eigenschaften,
die sich allein durch die erste Fundamentalform beschreiben lassen. Dazu
gehören Schnittwinkel zwischen Kurven, über die Fläche gemessene Abstände und
der Flächeninhalt. Da diese Größen durch die Riemannsche Metrik bestimmt sind,
verallgemeinert sich ihre Definition unmittelbar auf beliebige Riemannsche Mannigfaltigkeiten.
Wir beginnen den Abschnitt mit einigen Vorbereitungen über Tangentialräume,
die für die Anwendung des bisher entwickelten Begriffsapparates der differenzierbaren
Mannigfaltigkeiten auf Flächen im R 3 wichtig sind. Dann erläutern wir die
Grundbegriffe der inneren Geometrie und ihre Verallgemeinerung auf abstrakte Riemannsche
Mannigfaltigkeiten. Schließlich behandeln wir den Begriff der Isometrie
zwischen Riemannschen Mannigfaltigkeiten und geben einfache Beispiele.
10.1. Tangentialräume. In Abschnitt 3.1 haben wir eine Definition von Tangentialräumen
für Untermannigfaltigkeiten des R n gegeben. Danach ist insbesondere
T p R 3 = {(p, v) | v ∈ R 3 }, und für eine Fläche M ⊆ R 3 ist T p M die Teilmenge
derjenigen Paare (p, v) ∈ T p R 3 , für die v = c ′ (0) ist mit einer in M verlaufende
Kurve c. Andererseits hat man die aus Derivationen bestehenden Tangentialräume
T p M und T p R 3 . Die Beziehungen zwischen diesen Räumen lassen sich im folgenden
kommutativen Diagramm zusammenfassen:
T p M
Θ⏐
↓
T p M
Inklusion
−−−−−−→ T p R 3
⏐
↓ ˜Θ
T pι
−−−−−−→ T p R 3
Dabei ist T p ι die Ableitung der Inklusionsabbildung ι : M → R 3 , es ist also für
X ∈ T p M und f ∈ C ∞ (R 3 ),
((T p ι)X)f = X(f ◦ ι) = X(f| M ) .
Wie schon in 8.5 werden wir oft T p M mit (T p ι)(T p M) identifizieren, also T p M als
Unterrraum von T p R 3 auffassen. Die Abbildung Θ ist definiert durch
Version: 18. Februar 2000
Θ ((p, v)) f = d dt ∣ f(c(t)) (10.1.1)
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