DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

mit einem maximalen Vektorbündelatlas, nicht als Faserbündel, für die ein Vektorbündelatlas
existiert. Erklären Sie, warum. Vergleichen Sie mit den Definitionen
von topologischen und differenzierbaren Mannigfaltigkeiten im ersten Kapitel.
4. Einheitstangentialbündel. Sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit.
(a) Zeigen Sie: Zu jedem p ∈ M existieren eine Umgebung U von p und differenzierbare
Vektorfelder e 1 , · · · , e n auf U mit der Eigenschaft, dass für jedes q ∈ U die
Vektoren e 1 (q), · · · , e n (q) eine Orthonormalbasis von T q M bezüglich des Skalarproduktes
g(q) bilden. Man nennt (e 1 , · · · , e n ) ein orthonormales Basisfeld auf U.
Hinweis: Wenden Sie das Orthonormalisierungsverfahren von Gram–Schmidt auf
die Basisfelder einer Karte an.
(b) Zeigen Sie mit Hilfe von Teil (a): Das Einheitstangentialbündel einer n–dimensionalen
Riemannschen Mannigfaltigkeit (Beispiel (d) in 6.8) ist ein differenzierbares
Faserbündel mit Faser S n−1 .
5. Triviale Bündel. Zwei Vektorbündel (E 1 , M 1 , π 1 ) und (E 2 , M 2 , π 2 ) heißen
äquivalent, wenn ein fasertreuer und faserweise linearer Diffeomorphismus ihrer Totalräume
existiert, d.h. ein Diffeomorphismus f : E 1 → E 2 mit π 2 ◦ f = π 1 , dessen
Einschränkung auf jede Faser E 1,p diese linear auf E 2,p abbildet. Ein Vektorbündel
heißt trivial, wenn es zu einem Produktbündel (M × F, M, proj 1 ) (mit einem Vektorraum
F ) äquivalent ist. Zeigen Sie:
(a) Ein Vektorbündel (E, M, π) ist genau dann trivial, wenn es n differenzierbare
Schnitte
σ 1 , . . . , σ n ∈ Γ(M, E)
gibt mit der Eigenschaft, dass für jeden Punkt p ∈ M die Elemente σ 1 (p), . . . , σ n (p)
eine Basis der Faser E p bilden.
(b) Das Tangentialbündel des n–dimensionalen Torus M = T n = S 1 × . . . × S 1
(siehe Aufgabe 2, Kapitel 2) ist trivial.
6. Normalenbündel. Sei M ⊆ N eine Untermannigfaltigkeit einer Riemannschen
Mannigfaltigkeit (N, g). Das Tangentialbündel T M wird mit der Teilmenge
(T ι)(T M) ⊆ T N
identifiziert, wobei T ι die Ableitung der Inklusionsabbildung ι : M → N, ι(p) = p
bezeichnet. Für p ∈ M heißt
T p M ⊥ := { X ∈ T p N | g(p)(X, Y ) = 0 für alle Y ∈ T p M }
der Normalenraum von M im Punkt p. Die Vereinigung T M ⊥ = ⋃ p∈M T pM ⊥ heißt
das Normalenbündel von M in N.
(a) Verwenden Sie an M angepasste Karten (siehe 2.8), um einen Vektorbündelatlas
für (T M ⊥ , M, π) anzugeben.
(b) Finden Sie einen Vektorbündelatlas für das Normalenbündel des Rotationstorus
M ⊆ R 3 aus Aufgabe 2d im zweiten Kapitel. Hinweis: Es genügt ein Atlas mit nur
einer Bündelkarte.
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