DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Daraus folgt zunächst d(p, p 3 ) ≥ d(p, q) − d(q, p 3 ) = t 0 + δ. Andererseits hat die
stückweise differenzierbare Kurve ˜c : [0, t 0 + δ] → M, bestehend aus c| [0,t0] gefolgt
von der kürzesten Geodätischen σ von p 2 nach p 3 , die Länge t 0 + δ und verbindet p
mit p 3 . Also ist ˜c eine Kürzeste, und damit nach Korollar 1 in Abschnitt 18.3 eine
Geodätische. Folglich ist ˜c = c| [0,t0+δ] und daher c(t 0 + δ) = p 3 . Nun liefert (∗∗)
d(c(t 0 + δ), q) = l − (t 0 + δ).
Also ist t 0 + δ ∈ A, aber das widerspricht der Maximalität von t 0 . QED
19.2. Der Satz von Hopf und Rinow. Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit (oder
ihre Riemannsche Metrik) heißt vollständig, wenn ihr Levi–Civita–Zusammenhang
vollständig ist, wenn also der Definitionsbereich ˜T M der Exponentialabbildung exp
mit ganz T M übereinstimmt.
Satz. Sei (M, g) eine zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit.
sind folgende Aussagen äquivalent.
Dann
(a) Es existiert ein Punkt p ∈ M mit der Eigenschaft, dass T p M im Definitionsbereich
von exp enthalten ist.
(b) Jede abgeschlossene beschränkte Teilmenge A ⊆ M ist kompakt (Heine–Borel–
Eigenschaft).
(c) (M, d) ist eine vollständiger metrischer Raum, d.h.
konvergieren.
(d) (M, g) ist eine vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit.
Wenn die Aussagen (a)–(d) zutreffen, dann gilt auch
alle Cauchyfolgen in M
(e) Je zwei Punkte von M können durch eine kürzeste Geodätische verbunden werden.
Insbesondere ist exp(T p M) = M für jeden Punkt p ∈ M.
Bemerkungen. (i) Kompakte metrische Räume sind vollständig. Aus dem Satz
folgt daher, dass auf einer kompakten Mannigfaltigkeit jede Riemannsche Metrik
vollständig ist.
(ii) Abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten N ⊆ M vollständiger Riemanscher
Mannigfaltigkeiten M sind bezüglich der induzierten Riemannschen Metrik selbst
vollständig. Das liegt daran, dass sich die Heine Borel–Eigenschaft von M auf N
überträgt: Für die Abstandsfunktion d N auf N gilt offenbar d N (p, q) ≥ d(p, q) für
alle p, q ∈ N. Ist daher A ⊆ N abgeschlossen und bezüglich d N beschränkt, so ist
A auch in M abgeschlossen und bezüglich d beschränkt, also kompakt.
(iii) Das Beispiel der offenen Einheitskreisscheibe B(0, 1) ⊆ R 2 mit der Standardmetrik
zeigt, dass Eigenschaft (e) des Satzes nicht die anderen Eigenschaften impliziert.
Entfernt man aus der Standardsphäre S 2 eine sphärische Kreisscheibe,
deren Radius kleiner ist als der einer Hemisphäre, dann erhält man eine Riemannsche
Mannigfaltigkeit mit folgender Eigenschaft: Je zwei Punkte können durch
eine Geodätische verbunden werden, aber nicht notwendig durch eine Kürzeste.
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