DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Beweis. Die Kurve ċ ist genau dann eine Integralkurve von X , wenn sie ¨c(t) =
X (ċ(t)) erfüllt. Nach (17.3.2) und der Definition von X ist das genau dann der Fall,
wenn c eine Geodätische ist. Sei nun C eine Integralkurve von X , und sei X = C(0).
Die Geodätische c X liefert nach dem schon Bewiesenen eine weitere Integralkurve
ċ X , und zwar ebenfalls mit ċ X (0) = X. Wegen der Eindeutigkeit von Integralkurven
folgt ċ X = C, also c X = π ◦ C. QED
Wegen des Satzes ist ∇ genau dann vollständig, wenn alle Geodätischen c X den
maximalen Definitionsbereich J X = R haben. Die Wirkung des Flusses φ auf Punkte
X ∈ T M kann man sich folgendermaßen veranschaulichen: Ist X ∈ T M gegeben,
so nimmt man die Geodätische c X mit ċ X (0) = X. Dann ist φ t (X) = ċ X (t). Und
da ċ X ein paralleles Vektorfeld längs c X ist, gilt mit der Parallelverschiebung P cX
t,0
̷längs c X auch
φ t (X) = ċ X (t) = P cX
t,0 (X).
17.5. Die Exponentialabbildung eines Zusammenhanges. Für X ∈ T M
bezeichnet J X das maximale Definitionsintervall der Geodätischen c X wie in 17.2.
Satz. (a) Sei ˜T M = {X ∈ T M | 1 ∈ J X }. Dann ist ˜T M eine offene Umgebung
des Nullschnittes 0 M := {0 p ∈ T p M | p ∈ M}.
(b) Die durch
exp(X) = c X (1)
definierte Abbildung exp : ˜T M → M ist differenzierbar.
Beweis. (a) Offensichtlich enthält ˜T M alle Nullvektoren 0 p . Nach Satz 1 in Abschnitt
7.5 ist
U :=
⋃
J X × {X}
X∈T M
eine offene Teilmenge von R×T M, da J X das maximale Definitionsintervall der Integralkurve
ċ X des geodätischen Sprays ist. Die Menge ˜T M = {X ∈ T M | (1, X) ∈
U} ist das Urbild der offenen Menge U unter der stetigen Abbildung X ↦→ (1, X)
von T M nach R × T M, also selbst offen.
(b) Es gilt exp(X) = c X (1) = π(ċ X (1)) = π(φ(1, X)), wobei φ den geodätischen
Fluss bezeichnet und π die Projektion T M → M. Nach Satz 1 in Abschnitt 7.5 ist
φ von der Klasse C ∞ . QED
Die Abbildung exp heißt die Exponentialabbildung des Zusammenhanges ∇. Ihre
Einschränkung exp p := exp | TpM auf den Tangentialraum T p M nennt man die Exponentialabbildung
im Punkt p ∈ M. Nach 17.2(c) gilt
exp(tX) = c tX (1) = c X (t).
Die Kurve t ↦→ exp(tX) ist also die Geodätische mit Anfangsgeschwindigkeit X.
Die Bezeichnung als “Exponentialabbildung” entstammt einem Spezialfall (17.8.2),
auf den wir am Ende dieses Kapitels eingehen werden.
171