DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Nach dem Satz über inverse Funktionen existieren Umgebungen U ′ ⊆ U von x 0 und
V ′ = ϕ(U ′ ) von ϕ(x 0 ) dergestalt, dass ϕ| U ′ : U ′ → V ′ ein C k –Diffeomorphismus
ist. Wir zeigen
ϕ(U ′ ∩ M) = { (y 1 , . . . , y n+l ) ∈ ϕ(U ′ ) | y n+1 = · · · = y n+l = 0 } .
Die Inklusion “⊆” ist klar nach Definition von ϕ. Ist umgekehrt y ein Element der
rechten Seite, dann existiert x ∈ U ′ mit y = ϕ(x) und f(x) = 0. Da x ∈ U ist und
f(x) = 0, folgt x ∈ U ∩ M. Also ist x ∈ U ′ ∩ M und y ∈ ϕ(U ′ ∩ M).
(b)⇒(c) Seien U und ϕ wie in (b). Sei π : R n+l = R n × R l → R n die Projektion
und sei i : R n → R n+l die Abbildung
π(x 1 , . . . , x n+l ) = (x 1 , . . . , x n ),
i(x 1 , . . . , x n ) = (x 1 , . . . , x n , 0, . . . , 0).
Wir setzen W = π(ϕ(U ∩ M)) und definieren ψ : W → U als ψ = ϕ −1 ◦ i. Dann
ist W offen. Die Abbildung ψ ist ein Homöomorphismus von W auf U ∩ M, da i
ein Homöomorphismus von W auf ϕ(U ∩ M) und ϕ −1 ein Homöomorphismus von
ϕ(U ∩ M) auf U ∩ M ist. Nach der Kettenregel gilt für w ∈ W :
Dψ(w) = D(ϕ −1 )(i(w)) ◦ Di(w) = (Dϕ(ψ(w))) −1 ◦ i,
da i eine lineare Abbildung ist. Also ist Dψ(w) injektiv.
(c)⇒(a) Seien ψ, W und U wie in (c). Sei ψ(w 0 ) = x 0 . Wegen Rang (Dψ(w 0 )) = n
kann man nach eventuellem Umnummerieren der Koordinaten annehmen, dass die
(n × n) Matrix
( ∂ψ
i )
∂w j (w 0)
i,j=1,...,n
invertierbar ist. Wir definieren g : W × R l → R n+l durch g(w, y) = ψ(w) + (0, y),
das heißt also
g(w 1 , . . . , w n ,y 1 , . . . , y l ) =
(
ψ 1 (w), . . . , ψ n (w), ψ n+1 (w) + y 1 , . . . , ψ n+l (w) + y l) .
Dann ist die Jacobimatrix
Jg(w 0 , 0) =
( (
∂ψ i /∂w j (w 0 ) ) )
0
i,j=1,...,n
. . . I l×l
invertierbar. Also existieren Umgebungen V ⊆ W × R l von (w 0 , 0) und U ′ von
g(w 0 , 0) = x 0 so, dass g : V → U ′ ein C k –Diffeomorphismus ist. Indem man V
nötigenfalls verkleinert, kann man annehmen, dass U ′ ⊆ U ist.
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