DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Wir zeigen nun, dass jeder Punkt p ∈ M ein zulässige Umgebung U im Sinne von
22.1 hat. Sei V ⊆ T p M eine konvexe Umgebung des Nullpunktes, die durch die
Exponentialabbildung exp p diffeomorph auf eine offene Teilmenge U := exp p (V )
von M abgebildet wird. Sei weiter π −1 (p) = {p α | α ∈ Λ} mit einer Indexmenge Λ,
und sei
V α := (T pα π) −1 (V ) ⊆ T pα ¯M.
Da π Geodätische in Geodätische abbildet, ist
π ◦ exp pα
= exp p ◦ T pα π.
Folglich wird V α durch exp pα
diffeomorph auf die offene Teilmenge
U α := exp pα
(V α ) ⊆ ¯M
abgebildet. Also ist
π ∣ ∣
Uα
= exp p
∣
∣V ◦ T pα π ◦ (exp pα
∣
∣Vα
) −1
ein Diffeomorphismus von U α auf U. Wir beenden den Beweis, indem wir zeigen:
(1) U α ∩ U β ≠ ∅ impliziert α = β
(2) π −1 (U) = ⋃ α∈Λ U α.
Zum Beweis von (1) sei ¯p ∈ U α ∩ U β . Sei c α : [0, 1] → ¯M die eindeutig bestimmte
Geodätische mit c α (0) = ¯p und c α (1) = p α , die ganz in U α verläuft. Ebenso
sei c β : [0, 1] → ¯M die eindeutig bestimmte Geodätischen von c β (0) = ¯p nach
c β (1) = p β , die ganz in U β liegt. Dann sind die Kurven π ◦ c α und π ◦ c β Geodätische
von π(¯p) nach p, die ganz in U enthalten sind. Also gilt π ◦ c α = π ◦ c β ,
und es folgt
(T¯p π) ċ α (0) = (π ◦ c α )·(0)
= (π ◦ c β )·(0)
= (T¯p π) ċ β (0).
Damit ist ċ α (0) = ċ β (0), also c α = c β . Insbesondere folgt p α = c α (1) = c β (1) = p β ,
und daraus α = β.
Zum Beweis von (2): Offensichtlich ist ⋃ α U α ⊆ π −1 (U). Wir beweisen die umgekehrte
Inklusion. Seien dazu ¯q ∈ π −1 (U) und q := π(¯q). Wir betrachten die
Geodätische c : [0, 1] → M von c(0) = q nach c(1) = p mit c([0, 1]) ⊆ U, und die
Geodätische ¯c : [0, 1] → ¯M mit Tangentialvektor
˙¯c(0) = (T¯q π) −1 ċ(0).
Dann ist ¯c(0) = ¯q und π ◦ ¯c = c, insbesondere also π(¯c(1)) = c(1) = p. Daher gilt
¯c(1) = p α für einen Index α ∈ Λ, und es folgt ¯q ∈ U α . QED
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