DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

und damit als Ergebnis
2∑
L k i = h ij g jk . (11.5.5)
j=1
11.6. Ableitung der Gaußabbildung. Seien n : M → S 2 die Gaußabbildung
der Fläche M. Wir bestimmen ihre Ableitung T p n : T p M → T n(p) S 2 im Punkt
p ∈ M. Die Tangentialebene an M in p ist parallel zur Tangentialebene an die
Sphäre S 2 im Punkt n(p). Bezüglich der Standardkoordinaten auf R 3 ist
{ 3∑
T n(p) S 2 =
i=1
v i
∣
∂ ∣∣∣n(p)
∣ }
∣∣ 〈n(p), v〉 = 0
∂x i ,
wobei v = (v 1 , v 2 , v 3 ) T . Wir definieren eine Abbildung θ p : T p M → T n(p) S 2 durch
θ p
( 3∑
i=1
v i
∣
∂ ∣∣∣p )
∂x i =
3∑
i=1
v i
∂
∂x i ∣
∣∣∣n(p)
.
Geometrisch lässt sich θ p beschreiben als euklidische Parallelverschiebung von T p M
in den Tangentialraum T n(p) S 2 .
Lemma. Für die Ableitung der Gaußabbildung n gilt mit L p := L| TpM
T p n = −θ p ◦ L p . (11.6.1)
Beweis. Ist ψ : W → M eine lokale Parametrisierung an p, dann gilt
( ∣ ∂ ∣∣∣p )
(T p n)
∂w i =
3∑
k=1
Andererseits ist nach Definition von ∇
( ∣ ∂ ∣∣∣p )
L
∂w i = −∇ ∂
|
ν
∂w i p
= −
= −
3∑
k=1
3∑
k=1
∂(n k ◦ ψ)
∂w i (ψ −1 (p))
( ∂
∂w i ∣ ∣∣∣p
n k)
∂
∂x k ∣ ∣∣∣p
∂(n k ◦ ψ)
∂w i (ψ −1 (p))
Die Behauptung folgt aus der Definition von θ p . QED
100
∂
∂x k ∣
∣∣∣n(p)
.
∂
∂x k ∣ ∣∣∣p
.