DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Da t 0 ∈ (a, b] beliebig gewählt war, folgt
d
dt
‖J‖ 2
‖J ∗ ‖ 2 ≥ 0
auf (a, b], also ist ‖J‖ / ‖J ∗ ‖ monoton wachsend, wie behauptet. Zweimalige Anwendung
der Regel von de L’Hospital ergibt
lim
t→a
‖J(t)‖ 2
‖J ∗ (t)‖ 2 = lim 〈J, ∇ t J〉
t→a 〈J ∗ , ∇ t J ∗ 〉
= lim
t→a
‖∇ t J‖ 2 + 〈J, −R(J, ċ)ċ 〉
‖∇ t J ∗ ‖ 2 + 〈J ∗ , −R ∗ (J ∗ , ċ ∗ 〉ċ ∗ 〉
= 1,
und damit ‖J‖ ≥ ‖J ∗ ‖ auf [a, b]. Falls für einen Wert t 0 > 0 das Gleichheitszeichen
gilt, dann ist ˜J = J ∗ . In der Ungleichungskette (24.1.1) muss gelten I(Y, Y ) =
I( ˜J, ˜J), also nach dem Indexlemma Y = ˜J, und außerdem
〈R(J, ċ)ċ, J〉 = 〈R ∗ (Y, ċ ∗ )ċ ∗ , Y 〉
auf dem Intervall [0, t 0 ].
Intervall. QED
Folglich ist K(ċ(t), J(t)) = K ∗ (ċ ∗ (t), J ∗ (t)) auf diesem
24.2. Anwendungen des Rauchschen Satzes. Für κ ∈ R sei s κ die Lösung der
gewöhnlichen Differentialgleichung f ′′ + κf = 0 mit den Anfangswerten s κ (0) = 0
und s ′ κ (0) = 1. Explizit ist
⎧
√1
⎪⎨ κ
sin( √ κt), falls κ > 0
s κ (t) = t, falls κ = 0
⎪⎩
√1
−κ
sinh( √ (24.2.1)
−κt), falls κ < 0.
Für X ∈ T p M sei ι X
: T p M → T X T p M der kanonische Isomorphismus (17.6.1). Wie
in 18.3 definieren wir eine Riemannsche Metrik auf T p M durch die Festlegung, dass
für jedes X ∈ T p M die Abbildung ι X
eine lineare Isometrie ist. Damit wird T p M
zu einer flachen Riemannschen Mannigfaltigkeit. Die erste Anwendung beschreibt
die infinitesimale Längenverzerrung der Abbildung exp p : ˜T p M → M.
Satz 1. Seien (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, K ihre Schnittkrümmung,
p ∈ M und X ∈ ˜T p M. Sei w ∈ T X T p M orthogonal zur radialen Richtung ι X
X.
(a) Gilt K ≤ ∆ für eine Zahl ∆ ∈ R, und ist im Fall ∆ > 0 zusätzlich ‖X‖ ≤
π/ √ ∆, dann gilt
∥ (TX exp p )w ∥ s ∆ (‖X‖)
≥ ‖w‖ . (24.2.2)
‖X‖
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