DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

(b) Die Funktion f : M → R sei differenzierbar und habe ein lokales Extremum
an der Stelle p ∈ M. Zeigen Sie, dass (p, grad(f)) ∈ (T p M) ⊥ ist. Folgern Sie, dass
Zahlen λ 1 , . . . , λ l ∈ R existieren mit der Eigenschaft
(
grad f −
l∑
λ i h i) (p) = 0.
i=1
2. Normalenbündel. Sei M ⊆ R n eine C k –Untermannigfaltigkeit. Zeigen Sie
unter Verwendung lokaler Parametrisierungen, dass das Tangentialbündel T M und
das Normalenbündel T ⊥ M von M, definiert als
T M := ⋃
p∈M
C k−1 –Untermannigfaltigkeiten von R 2n sind.
T p M und T ⊥ M := ⋃
(T p M) ⊥ ,
3. Tangentialraum. Seien (M, A) eine n-dimensionale C ∞ –Mannigfaltigkeit und
p ∈ M. Sei Trip p M die Menge aller Tripel (p, ξ, (ϕ, U)), wobei ξ ∈ R n ist und
(ϕ, U) ∈ A eine Karte mit p ∈ U. Auf Trip p M definieren wir eine Äquivalenzrelation
∼ wie folgt:
p∈M
(p, ξ, (ϕ, U)) ∼ (p, ξ ′ , (ϕ ′ , U ′ )) :⇐⇒ D(ϕ ′ ◦ ϕ −1 )(ϕ(p)) ξ = ξ ′
Wir definieren Tang p M := Trip p M/ ∼ als die Menge der Äquivalenzklassen.
(a) Zeigen Sie, dass ∼ eine Äquivalenzrelation ist.
(b) Zeigen Sie, dass durch
λ 1 [(p, ξ 1 , (ϕ, U))] + λ 2 [(p, ξ 2 , (ϕ, U))] = [(p, λ 1 ξ 1 + λ 2 ξ 2 , (ϕ, U))]
(λ i ∈ R) eine Vektorraumstruktur auf Tang p M wohldefiniert wird.
(c) Finden Sie kanonische Vektorraumisomorphismen und ihre Umkehrabbildungen
von Tang p M auf Tp
geo M und T p M, und auf T p M im Falle von Untermannigfaltigkeiten
des R m .
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